Integration durch Substitution: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zur Substitutionsregel beginnen mit klar erkennbaren inneren Funktionen und steigern sich bis zu Logarithmen, Rücksubstitution und bestimmten Integralen mit neuen Grenzen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die Methode:

Setze u gleich der inneren Funktion, bestimme du, ersetze alles, integriere und setze dann wieder x ein. Zum Auffrischen lies die Seite zur Substitutionsregel.

Aufgaben

Die Ableitung steht schon da

1. \displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx
2. \displaystyle\int \cos(3x)\,dx
3. \displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx
4. \displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx

Logarithmen und Winkelfunktionen

5. \displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx
6. \displaystyle\int \tan x\,dx
7. \displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx
8. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx
9. \displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx

Rücksubstitution

10. \displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx

Bestimmte Integrale

11. \displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx
12. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Setze u = x^2 + 1, also du = 2x\,dx. Genau das steht vorne:

2. Setze u = 3x, also du = 3\,dx und dx = \frac{1}{3}du:

3. Setze u = x^2, also du = 2x\,dx und x\,dx = \frac{1}{2}du:

4. Setze u = x^3 + 1, also du = 3x^2\,dx und x^2\,dx = \frac{1}{3}du:

5. Setze u = \ln x, also du = \frac{1}{x}dx:

6. Schreibe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Setze u = \cos x, also du = -\sin x\,dx:

Das ist dasselbe wie \ln|\sec x| + C. Siehe das Integral von tan x.

7. Setze u = \cos x, also \sin x\,dx = -du:

8. Setze u = 1 + e^x, also du = e^x\,dx. Da 1 + e^x > 0 ist, brauchst du keinen Betrag:

9. Setze u = \ln x, also du = \frac{1}{x}dx. Das Integral wird zu \int\frac{1}{u}\,du:

10. Setze u = x + 1, also du = dx. Es bleibt noch ein x übrig, also löse danach auf: x = u - 1. Dann:

Setze wieder u = x + 1 ein und du erhältst das Ergebnis aus der Tabelle.

11. Setze u = x^2 + 1, also x\,dx = \frac{1}{2}du. Rechne die Grenzen um: x = 0 liefert u = 1 und x = 2 liefert u = 5:

12. Setze u = \sin x, also du = \cos x\,dx. Die Grenzen werden zu u = 0 und u = 1:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• dx im Integral stehen lassen. Nach der Substitution muss alles in u und du stehen. Ein übrig gebliebenes dx zeigt, dass ein Schritt fehlt.
• Durch eine Variable teilen. In \int e^{x^2}\,dx gibt es keinen Faktor x, also funktioniert u = x^2 nicht. Konstanten lassen sich ausgleichen, Variablen nicht.
• Die alten Grenzen behalten. Integrierst du in Aufgabe 11 u^3 von 0 bis 2, ist das Ergebnis falsch. Rechne die Grenzen um oder substituiere vorher zurück zu x.
• Die Rücksubstitution vergessen. Ein unbestimmtes Integral muss als Ergebnis in x stehen.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Substitutionsregel und die Wiederholung in Analysis 2. Weitere Rechenbeispiele findest du im Leitfaden zur Substitutionsregel. Wenn die Substitution bei Produkten nicht mehr weiterhilft, geht es weiter mit den Aufgaben zur partiellen Integration.