Análisis Matemático II Exactas UBA: programa, guía y práctica

Análisis Matemático II es la segunda materia de análisis que el Departamento de Matemática de Exactas UBA dicta para carreras como Ciencias Químicas. Llega después de Análisis Matemático I y cierra el cálculo en varias variables con los grandes teoremas del cálculo vectorial, para después pasar a las ecuaciones diferenciales. En esta guía cada tema del programa tiene su lección de práctica.

Qué cubre Análisis Matemático II

El programa del primer cuatrimestre de 2020 se organiza en cuatro bloques:

1. Integrales sobre curvas y superficies: integral de línea, superficies parametrizadas, área de superficie, integrales de funciones escalares y de campos vectoriales sobre superficies, y aplicaciones.
2. Los teoremas del cálculo vectorial: teorema de Green, teorema de Stokes, campos conservativos, teorema de Gauss y aplicaciones.
3. Ecuaciones diferenciales: métodos elementales, teorema de existencia y unicidad, soluciones maximales, sistemas lineales de primer orden y ecuaciones de orden superior.
4. Sistemas de ecuaciones diferenciales: sistemas lineales con coeficientes constantes, diagramas de flujo, estabilidad lineal, sistemas conservativos y aplicaciones.

Los dos primeros bloques son la parte final de un Cálculo 3 estándar. Los dos últimos corresponden a un primer curso de ecuaciones diferenciales.

Mapa de temas de Análisis Matemático II

Para los sistemas de ecuaciones diferenciales no tenemos lecciones específicas; las ecuaciones separables y un buen manejo de autovalores son la mejor preparación.

Análisis II en la secuencia

Si estudiás Ingeniería, mirá la guía de Análisis Matemático II de FIUBA, que tiene otro recorrido.

Ejemplos de problemas al nivel de Análisis II

1. Trabajo a lo largo de una curva. Para F = (y, x) y r(t) = (t, t^2), 0 \le t \le 1: F(r(t)) \cdot r'(t) = t^2 + t \cdot 2t = 3t^2, así que

Como F = \nabla(xy), coincide con xy evaluado entre (0, 0) y (1, 1).

2. Teorema de Green para áreas. El área encerrada por C es \frac{1}{2}\oint_C x\,dy - y\,dx. Para la elipse x = a\cos t, y = b\sin t, el integrando vale ab y el área es \pi ab.

3. Una ecuación lineal. Para y' + y = 1 con y(0) = 0, el factor integrante e^x da (ye^x)' = e^x, así que y = 1 - e^{-x}.

Cómo te puede ir bien en Análisis Matemático II

• Practicá parametrizaciones de curvas y superficies hasta que salgan solas: son el primer paso de casi todo ejercicio.
• Verificá los teoremas en casos simples calculando ambos lados, por ejemplo con Green.
• Tené el formulario cerca y repasá los errores comunes antes de cada parcial.
• Mezclá ejercicios de todos los temas en la sección de práctica para aprender a reconocer qué herramienta usar.