Análisis Matemático I Exactas UBA: programa, guía y práctica

Análisis Matemático I es una materia cuatrimestral que dicta el Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales (Exactas) de la UBA para varias carreras. Aunque el nombre suene a primer curso, el contenido es cálculo en varias variables: el cálculo de una variable se ve antes, en el Ciclo Básico Común. En esta guía relacionamos cada unidad del programa con lecciones de práctica.

Qué cubre Análisis Matemático I

El programa revisado (Licenciatura en Ciencias Químicas, primer cuatrimestre de 2020) tiene cinco unidades:

1. Topología en \mathbb{R} y \mathbb{R}^n: completitud de \mathbb{R} y supremo, distancia, discos, interior, clausura, conjuntos abiertos, cerrados y acotados, y límite de sucesiones en \mathbb{R}^n.
2. Funciones de \mathbb{R}^n en \mathbb{R}^k: gráficos, dominio, curvas y superficies de nivel, límites (también a lo largo de rectas y curvas) y continuidad.
3. Cálculo diferencial en varias variables: derivadas parciales, aproximación lineal, diferencial, matriz jacobiana, plano tangente, regla de la cadena, teoremas de la función inversa e implícita, derivadas direccionales, gradiente, teorema del valor medio, derivadas de orden superior, aproximación de orden 2 y Hessiano.
4. Extremos de funciones de varias variables: puntos críticos, formas cuadráticas, clasificación con el Hessiano, extremos ligados y multiplicadores de Lagrange.
5. Integrales dobles y triples: repaso de integral definida y regla de Barrow, integrales impropias y su relación con series, integral doble sobre rectángulos y regiones generales, Fubini, integral triple y cambio de variables.

Corresponde a la primera mitad de un Cálculo 3 estándar más las integrales múltiples. En la carrera de Ciencias de la Computación, el programa con el mismo contenido figura con el nombre Análisis II.

Mapa de temas de Análisis Matemático I

Análisis I, Análisis II y la materia de FIUBA

Ejemplos de problemas al nivel de Análisis I

1. Un límite que no existe. Para f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, sobre la recta y = mx vale \frac{m}{1 + m^2}, que depende de m. Por lo tanto el límite en (0, 0) no existe.

2. Multiplicadores de Lagrange. Maximizar f = xy con x + y = 10: \nabla f = \lambda \nabla g da y = \lambda y x = \lambda, así que x = y = 5 y el máximo es 25.

3. Fubini en una región triangular.

Cómo te puede ir bien en Análisis Matemático I

• Llegá con una variable bien firme. Las derivadas parciales son derivadas comunes; si dudás con la regla de la cadena, repasala antes.
• Dibujá curvas de nivel. Te ayudan a entender límites, gradientes y Lagrange al mismo tiempo.
• Practicá con frecuencia en la sección de práctica, y tené el formulario a mano para integrales y derivadas básicas.
• Prepará los parciales con tiempo siguiendo nuestra guía para preparar un examen de cálculo.