MA2001 Cálculo en Varias Variables FCFM U. de Chile: guía

MA2001 Cálculo en Varias Variables es el curso de cálculo multivariable del Plan Común de la FCFM de la Universidad de Chile. Llega tras MA1002 y MA1102 Álgebra Lineal, y lleva derivadas e integrales a \mathbb{R}^n, con aplicaciones a la optimización (como primera aproximación al curso posterior de Optimización) y al cálculo de volúmenes, masas y momentos de inercia. En esta guía cada unidad del programa tiene su lección de práctica.

Qué cubre MA2001

El programa del Departamento de Ingeniería Matemática tiene nueve unidades:

1. Topología en \mathbb{R}^n: distancias y normas, sucesiones, conjuntos abiertos, cerrados y compactos.
2. Funciones de \mathbb{R}^n en \mathbb{R}^m: límite, continuidad y sus propiedades.
3. Cálculo diferencial en \mathbb{R}^n: derivadas direccionales y parciales, derivada fuerte (diferenciabilidad), regla de la cadena, aproximación de primer orden, gradiente y teorema de los incrementos finitos.
4. Teoremas de la función inversa e implícita, y teorema del punto fijo.
5. Derivadas de orden superior: matriz Hessiana y teorema de Schwarz.
6. Máximos y mínimos: puntos críticos, condiciones de segundo orden, puntos silla, funciones convexas y multiplicadores de Lagrange.
7. Integral de Riemann en \mathbb{R}^n: particiones de rectángulos e integrabilidad de funciones continuas.
8. Fubini y cambio de variables: integración en dominios generales, coordenadas polares, cilíndricas y esféricas, centro de masa y momentos de inercia.
9. Parametrización e integración en superficies: parametrizaciones, vectores tangentes, plano y recta normal, e integrales de funciones escalares sobre superficies.

Comparado con un Cálculo 3 estándar, cubre la parte diferencial y las integrales múltiples con más rigor, pero no lista el cálculo vectorial de Green, Stokes y Gauss.

Mapa de temas de MA2001

MA2001 en la línea de cálculo

Ejemplos de problemas al nivel de MA2001

1. Un punto silla. Para f(x, y) = x^3 - 3x + y^2, los puntos críticos son (\pm 1, 0). En (1, 0) la Hessiana es \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} (mínimo local); en (-1, 0) es \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} (punto silla).

2. Polares. Sobre el disco unitario:

3. Función implícita. En x^2 + y^2 + z^2 = 3, cerca de (1, 1, 1) se puede despejar z(x, y) porque F_z = 2z \ne 0, y \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{x}{z} = -1.

Cómo te puede ir bien en MA2001

• Repasa álgebra lineal antes de empezar: jacobianas, Hessianas y formas cuadráticas son matrices.
• Practica derivadas parciales e integrales iteradas en la sección de práctica hasta que salgan solas.
• Dibuja dominios antes de usar Fubini o cambiar a polares, y ten los jacobianos en tu formulario.
• Prepara los controles con tiempo siguiendo nuestra guía de cómo estudiar cálculo.