Derivada de ln(x²) y de (ln x)²: fórmulas y ejemplos
La derivada de ln(x²) es 2/x, mientras que la de (ln x)² es 2 ln x / x. Las dos demostraciones, una gráfica y cómo distinguir ambas funciones.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada de ln(x²)
- \dfrac{2}{x} para x \ne 0
- Derivada de (ln x)²
- \dfrac{2\ln x}{x} para x > 0
- Propiedad clave de los logaritmos
- \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert
- Dominio de ln(x²)
- x \ne 0
- Dominio de (ln x)²
- x > 0
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La derivada de \ln(x^2) es \dfrac{2}{x}. No la confundas con (\ln x)^2, cuya derivada es \dfrac{2\ln x}{x}.
Derivada de ln(x²): dos caminos
Con la regla de la cadena. El interior es u = x^2, así que u' = 2x. Usando "la derivada del interior entre el interior" de la derivada de ln x:
Aplicando antes una propiedad de los logaritmos. La propiedad de la potencia baja el exponente: \ln(x^2) = 2\ln\lvert x\rvert. Como \frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x},
El valor absoluto importa porque x^2 > 0 incluso cuando x < 0. Así que \ln(x^2) también existe para x negativo, y la fórmula \frac{2}{x} es válida a ambos lados de 0.
Derivada de (ln x)²
Aquí primero se calcula el logaritmo y después se eleva al cuadrado. La función exterior es un cuadrado, así que usa la regla de la cadena con la regla de la potencia por fuera:
También verás (\ln x)^2 escrito como \ln^2 x. En general nunca es igual a \ln(x^2). En x = e: \ln(e^2) = 2, pero (\ln e)^2 = 1.
Gráfica de ambas funciones
La gráfica muestra la diferencia de signo. \ln(x^2) crece para x > 0 (su pendiente \frac{2}{x} es positiva) y decrece para x < 0. (\ln x)^2 tiene un mínimo en x = 1, donde su derivada \frac{2\ln x}{x} vale 0.
Comparación lado a lado
| \ln(x^2) | (\ln x)^2 | |
|---|---|---|
| Qué se eleva al cuadrado | la entrada x | la salida \ln x |
| Dominio | x \ne 0 | x > 0 |
| Se simplifica a | 2\ln\lvert x\rvert | no tiene forma más simple |
| Derivada | \frac{2}{x} | \frac{2\ln x}{x} |
| Valor en x = e | 2 | 1 |
Más ejemplos
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\ln(x^3) = \frac{3x^2}{x^3} = \frac{3}{x}. En general \frac{d}{dx}\ln(x^n) = \frac{n}{x}.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}. Aquí no se simplifica nada, porque el interior no es una potencia pura.
Ejemplo 3. \frac{d}{dx}(\ln x)^3 = \frac{3(\ln x)^2}{x}.
Ejemplo 4. \frac{d}{dx}\ln\!\left((x^2 + 1)^2\right) = 2\cdot\frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{4x}{x^2 + 1}, usando primero la propiedad de la potencia de los logaritmos.
Errores comunes
- Escribir \frac{1}{x^2}. Tienes que multiplicar por la derivada interior 2x.
- Tratar \ln^2 x como \ln(x^2). Una eleva al cuadrado la salida, la otra la entrada.
- Escribir \frac{2}{x} para (\ln x)^2. Olvidaste el \ln x que deja la regla de la potencia.
Para practicar más la regla de la cadena con logaritmos, consulta la derivada de ln(2x), la derivación logarítmica y los ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
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