Ejercicios de derivadas exponenciales y logarítmicas resueltos

Estos ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas empiezan con las reglas básicas y después usan la regla de la cadena, las propiedades de los logaritmos y la derivación logarítmica. Intenta cada uno primero. Las respuestas están justo después de la lista, y luego vienen las soluciones completas.

Las reglas que necesitas:

Con una función interior u: (e^u)' = e^u u' y (\ln u)' = \frac{u'}{u}. Consulta la derivada de e^x, la derivada de ln x y la derivada de 2^x para ver las demostraciones.

Ejercicios

Reglas básicas

1. y = 5e^x - \ln x
2. y = 2^x
3. y = \log_{10} x

Regla de la cadena

4. y = e^{3x}
5. y = \ln(x^2 + 1)
6. y = 5^{x^2}

Usa primero las propiedades de los logaritmos

7. y = \ln(5x)
8. y = \ln\sqrt{x^2 + 4}
9. y = \ln\!\left(\dfrac{x + 1}{x - 1}\right)

Con otras reglas

10. y = x^2\ln x
11. y = \dfrac{e^x}{1 + e^x}
12. y = x^x para x > 0

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Deriva cada término:

2. Usa (a^x)' = a^x\ln a con a = 2:

3. Usa (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} con a = 10, o escribe primero \log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10}:

4. La función interior es 3x, con derivada 3:

5. Usa (\ln u)' = \frac{u'}{u} con u = x^2 + 1:

6. Usa (a^u)' = a^u\ln a\cdot u' con a = 5 y u = x^2:

7. Descompón el logaritmo: \ln(5x) = \ln 5 + \ln x. El primer término es una constante:

La regla de la cadena da lo mismo: \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.

8. Una raíz cuadrada es una potencia de \frac{1}{2}, y los logaritmos bajan las potencias delante:

9. Descompón el cociente: y = \ln(x + 1) - \ln(x - 1). Entonces

Es mucho más corto que aplicar la regla del cociente dentro de la regla de la cadena.

10. Usa la regla del producto:

11. Usa la regla del cociente. Tanto el numerador como el denominador tienen derivada e^x:

12. No sirven ni la regla de la potencia ni la regla exponencial, porque x está en los dos sitios. Usa la derivación logarítmica: toma \ln en ambos lados.

Deriva ambos lados, con la regla del producto a la derecha:

Errores comunes en estos ejercicios

• Usar la regla de la potencia con e^x o 2^x. (2^x)' no es x\cdot 2^{x-1}. La variable está en el exponente, así que necesitas 2^x\ln 2.
• Escribir \ln(x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1}. Eso olvida la derivada interior 2x en el numerador.
• Descomponer un logaritmo de forma incorrecta. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1. Las propiedades de los logaritmos separan productos y cocientes, no sumas.
• Tratar x^x como x\cdot x^{x-1}. El ejercicio 12 necesita derivación logarítmica. Consulta la derivada de x^x para más detalles.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, prueba la lección de derivadas exponenciales y logarítmicas y después la lección de la regla de la cadena con exponenciales. Para más ejemplos resueltos, lee la guía de derivadas exponenciales y logarítmicas.