Derivada de |x|: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de |x| es x/|x|: 1 para x > 0, -1 para x < 0 y no existe en 0. Demostración, el pico en 0 y la regla de la cadena para |u|.
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \dfrac{x}{\lvert x\rvert} para x \ne 0
- Forma a trozos
- 1 para x > 0, -1 para x < 0
- En x = 0
- No existe, la gráfica tiene un pico
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\lvert u\rvert = \dfrac{u}{\lvert u\rvert}\,u'
- Versión para integrales
- \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C
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La derivada de \lvert x\rvert es \dfrac{x}{\lvert x\rvert}. Dicho de forma sencilla, la pendiente es 1 a la derecha de 0, -1 a la izquierda de 0, y en el propio 0 no hay pendiente.
Gráfica de |x| y de su derivada
Demostración, trozo a trozo
Divide \lvert x\rvert en sus dos trozos. Para x > 0, \lvert x\rvert = x, así que la derivada es 1. Para x < 0, \lvert x\rvert = -x, así que la derivada es -1. En ambos casos el resultado es igual a \frac{x}{\lvert x\rvert}: al dividir un número entre su valor absoluto se obtiene simplemente su signo.
Por qué no hay derivada en 0
Fíjate en el cociente incremental en x = 0:
Por la derecha (h > 0) vale 1. Por la izquierda (h < 0) vale -1. Los límites laterales no coinciden, así que el límite no existe. La gráfica tiene un pico (un punto anguloso) y ninguna recta tangente única se ajusta a él. Es el ejemplo clásico de la lección sobre derivabilidad.
Otra forma de escribir el resultado es \frac{d}{dx}\lvert x\rvert = \frac{x}{\sqrt{x^2}}, ya que \lvert x\rvert = \sqrt{x^2}. Al derivar \sqrt{x^2} con la regla de la cadena se obtiene \frac{2x}{2\sqrt{x^2}}, la misma fórmula.
La versión con la regla de la cadena: derivada de |u|
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\lvert 3x\rvert = \frac{3x}{\lvert 3x\rvert}\cdot 3, que vale 3 para x > 0 y -3 para x < 0.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\lvert x^2 - 4\rvert = \frac{(x^2 - 4)\cdot 2x}{\lvert x^2 - 4\rvert}. Para \lvert x\rvert > 2 esto es 2x. Para \lvert x\rvert < 2 es -2x. En x = \pm 2 la gráfica tiene picos y no hay derivada.
Ejemplo 3. \frac{d}{dx}\lvert\sin x\rvert = \frac{\sin x\cos x}{\lvert\sin x\rvert}, que no está definida allí donde \sin x = 0.
Una función construida con |x| que sí es derivable
Multiplicar por x suaviza el pico. Toma f(x) = x\lvert x\rvert. Para x > 0 es x^2, para x < 0 es -x^2, así que f'(x) = 2\lvert x\rvert. En 0 el cociente incremental es \frac{h\lvert h\rvert}{h} = \lvert h\rvert \to 0, así que f'(0) = 0 existe. Esta f es además una antiderivada de 2\lvert x\rvert, y así se calcula la integral de |x|.
Errores comunes
- Responder \lvert 1\rvert = 1. La derivada no es 1 en todas partes. En el lado izquierdo vale -1.
- Decir que f'(0) = 0. El pico no tiene recta tangente, así que la derivada en 0 no existe.
- Pensar que continua significa derivable. \lvert x\rvert es continua en 0, pero aun así no tiene derivada ahí.
Para la función en sí, consulta la página de la función valor absoluto.
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