Derivada de x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de x es 1. Demostración con la definición de límite y la regla de la potencia, más las derivadas de 5x, ax + b y de x respecto a otras variables.
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 1 para todo x real
- Múltiplo de x
- \dfrac{d}{dx}(ax) = a
- Función lineal
- \dfrac{d}{dx}(ax + b) = a
- Con la regla de la potencia
- x = x^1, así que la derivada es 1 \cdot x^0 = 1
- Versión para integrales
- \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C
En esta página
La derivada de x es 1. La función y = x es una recta con pendiente 1, y la derivada de una recta es simplemente su pendiente.
Gráfica de x y de su derivada
Como la pendiente nunca cambia, la derivada es una constante. Toma dos puntos cualesquiera de la recta: el avance vertical siempre es igual al horizontal.
Demostración con la definición de límite
La definición de derivada como límite dice
Con f(x) = x:
La h se simplifica antes incluso de tomar el límite, así que no hay nada complicado que resolver.
Demostración con la regla de la potencia
Escribe x como x^1. La regla de la potencia dice que bajes el exponente y lo reduzcas en uno:
Esto usa x^0 = 1, que es válido para todo x \ne 0, y la demostración con límites cubre también x = 0.
Múltiplos y funciones lineales
Con la regla del múltiplo constante y la regla de la constante, cualquier función lineal es sencilla:
| Función | Derivada |
|---|---|
| 5x | 5 |
| -x | -1 |
| \frac{x}{3} | \frac{1}{3} |
| 3x - 7 | 3 |
| \pi x + e | \pi |
La derivada de una recta y = mx + b siempre es m, su pendiente. La ordenada en el origen b solo desplaza la recta hacia arriba o hacia abajo, así que no afecta a su inclinación. Consulta la derivada de una constante para ver por qué desaparece la b.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una suma. Deriva f(x) = x^2 + 4x - 9:
El término 4x aporta 4 y el -9 aporta 0. El término x^2 usa la derivada de x².
Ejemplo 2: comprobación con un producto. Escribe x^2 = x \cdot x y usa la regla del producto:
Coincide con la regla de la potencia, lo cual es una buena comprobación.
Ejemplo 3: otra variable. En \frac{d}{dt}(xt), donde x no depende de t, trata x como una constante: el resultado es x.
Errores comunes
- Responder 0. Solo las constantes tienen derivada 0. La función x cambia, así que su derivada es 1.
- Dar x como resultado. La derivada de x no es x. Eso se cumple para e^x, no para x.
- Conservar el término constante. \frac{d}{dx}(3x + 7) = 3, no 3 + 7 ni 10.
La pregunta inversa, \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C, está en la página de la integral de x. Para practicar, prueba los ejercicios de la regla de la potencia.
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