Integral de |x|: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de \lvert x\rvert es \dfrac{x\lvert x\rvert}{2} + C. Como \lvert x\rvert se define a trozos, la forma más limpia de hallar su integral es integrar cada trozo y luego unirlos.

Gráfica de |x| y su antiderivada

La antiderivada siempre crece, ya que \lvert x\rvert \ge 0. Tiene un punto plano en el origen, donde \lvert x\rvert = 0, y ahí es suave aunque \lvert x\rvert tenga un pico.

Deducción trozo a trozo

1. Separa la función: \lvert x\rvert = x para x \ge 0 y \lvert x\rvert = -x para x < 0.
2. Integra cada trozo con la integral de x: \frac{x^2}{2} a la derecha, -\frac{x^2}{2} a la izquierda.
3. Haz que coincidan en x = 0. Los dos trozos valen 0 ahí, así que no hace falta ninguna constante extra.
4. Escribe los dos trozos en una sola fórmula. Como x\lvert x\rvert = x^2 para x \ge 0 y x\lvert x\rvert = -x^2 para x < 0, la antiderivada es \frac{x\lvert x\rvert}{2}.
5. Añade C.

También puedes escribir el resultado como \frac{x^2}{2}\operatorname{sgn}(x) + C, donde \operatorname{sgn}(x) es el signo de x.

Comprobación derivando

Para x > 0: \frac{d}{dx}\frac{x^2}{2} = x = \lvert x\rvert. Para x < 0: \frac{d}{dx}\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x = \lvert x\rvert. En x = 0 las dos pendientes laterales valen 0, así que la derivada es 0 = \lvert 0\rvert. La comprobación funciona en todas partes. Compárala con la derivada de |x|, que no existe en 0.

Integrales definidas: divide donde cambia el signo

Para una integral definida casi nunca necesitas la fórmula de la antiderivada. Divide el intervalo donde el interior de las barras se anula y usa las propiedades de la integral definida.

Ejemplo 1. \int_{-2}^{3}\lvert x\rvert\,dx = \int_{-2}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{3}x\,dx = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}.

Ejemplo 2. \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx = a^2 para cualquier a > 0. La función es par, así que es el doble de \int_0^a x\,dx = \frac{a^2}{2}.

Ejemplo 3: interior desplazado. En \int_0^4\lvert x - 1\rvert\,dx, el interior se anula en x = 1:

Ejemplo 4: distancia total. Si la velocidad es v(t) = t - 2 en [0, 5], el desplazamiento es \int_0^5 (t - 2)\,dt = \frac{5}{2}, pero la distancia total recorrida es \int_0^5\lvert t - 2\rvert\,dt = 2 + \frac{9}{2} = \frac{13}{2}. Este es el motivo más habitual para integrar un valor absoluto.

Variante por sustitución

Con un interior lineal, \int\lvert ax + b\rvert\,dx = \frac{(ax + b)\lvert ax + b\rvert}{2a} + C. Por ejemplo, \int\lvert 2x - 3\rvert\,dx = \frac{(2x - 3)\lvert 2x - 3\rvert}{4} + C.

Errores comunes

1. Responder \frac{x^2}{2} + C. Solo es correcto para x \ge 0.
2. Responder \left\lvert\frac{x^2}{2}\right\rvert + C. Su derivada es x, que es negativa para x < 0.
3. Obtener 0 en \int_{-a}^{a}\lvert x\rvert\,dx. \lvert x\rvert es par, no impar. No se cancela nada.
4. Dividir en el punto equivocado. Para \lvert x - 1\rvert, divide en x = 1, no en x = 0.

Practica este tipo de división con los ejercicios de integrales definidas.