Derivada de √x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de √x es 1/(2√x). Demostración con la regla de la potencia y con límites, regla de la cadena para √u, por qué falla en x = 0 y ejemplos.
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \dfrac{1}{2\sqrt{x}} para x > 0
- Como potencia
- \dfrac{d}{dx}\,x^{1/2} = \tfrac{1}{2}x^{-1/2}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\sqrt{u} = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}
- En x = 0
- No es derivable, la tangente es vertical
- Versión para integrales
- \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C
En esta página
La derivada de \sqrt{x} es \dfrac{1}{2\sqrt{x}}, para todo x > 0. Las raíces no son más que potencias fraccionarias, así que la regla de la potencia se encarga de ellas.
Gráfica de √x y de su derivada
La derivada siempre es positiva, así que \sqrt{x} siempre crece. Pero crece cada vez más despacio, y por eso la curva se dobla hacia abajo.
Demostración con la regla de la potencia
Reescribe la raíz como potencia, \sqrt{x} = x^{1/2}, y usa la regla de la potencia:
Demostración con la definición de límite
Sustituir h = 0 da \frac{0}{0}, así que multiplica numerador y denominador por el conjugado \sqrt{x + h} + \sqrt{x}:
Ahora haz que h \to 0 y obtienes \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Por qué x = 0 es un problema
En x = 0 la fórmula dividiría entre cero. Ahí el cociente incremental es \frac{\sqrt{h}}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}}, que crece sin límite cuando h \to 0^+. La recta tangente en el origen es vertical, así que \sqrt{x} no es derivable en 0.
La versión con la regla de la cadena: derivada de √u
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \sqrt{3x} | 3x | \frac{3}{2\sqrt{3x}} |
| \sqrt{x^2 + 1} | x^2 + 1 | \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} |
| \sqrt{1 - x^2} | 1 - x^2 | \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \sqrt{\sin x} | \sin x | \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}} |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: junta primero las potencias. Deriva x\sqrt{x}. Como x\sqrt{x} = x^{3/2}:
Ejemplo 2: un cociente. \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}, así que su derivada es -\frac{1}{2}x^{-3/2} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}.
Ejemplo 3: una recta tangente. En x = 9, \sqrt{9} = 3 y la pendiente es \frac{1}{6}. La tangente es y = 3 + \frac{1}{6}(x - 9). Esta recta es la base para estimar \sqrt{10} \approx 3 + \frac{1}{6} \approx 3.167, una aproximación lineal clásica. El valor real es aproximadamente 3.162.
Errores comunes
- Olvidar el 2. El resultado es \frac{1}{2\sqrt{x}}, no \frac{1}{\sqrt{x}}.
- Bajar el exponente en la dirección equivocada. \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}, no -\frac{3}{2} ni \frac{3}{2}.
- Omitir u'. \frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} necesita el factor 2x en el numerador.
- Sustituir x = 0. La fórmula no tiene valor en 0. Di que ahí la derivada no existe en lugar de escribir \frac{1}{0}.
El sentido inverso está en la página de la integral de √x. La página de la función raíz cuadrada trata su gráfica y su dominio.
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