Ejercicios de área entre curvas resueltos con respuestas

Estos ejercicios de área entre curvas empiezan con regiones sencillas y pasan a curvas que se cruzan y a integrar respecto a y. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y después vienen las soluciones completas.

La fórmula:

Halla dónde se cortan las curvas, decide cuál está arriba e integra la diferencia. Para una explicación más larga con dibujos, lee la guía de área entre curvas.

Ejercicios

Dos curvas, una región

1. y = x e y = x^2
2. y = 4 - x^2 e y = 0
3. y = 2x e y = x^2
4. y = x^2 - 4 e y = 2 - x
5. y = \sqrt{x} e y = x^2

Con límites dados

6. y = \cos x e y = \sin x desde x = 0 hasta x = \frac{\pi}{4}
7. y = e^x e y = 1 desde x = 0 hasta x = 1
8. y = x e y = \frac{1}{x} desde x = 1 hasta x = 2

Planteamientos más difíciles

9. La región limitada por x = y^2 y x = y + 2
10. El área total entre y = x^3 e y = x en [-1, 1]

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Iguala x = x^2: x = 0 o x = 1. En x = \frac{1}{2}, la recta da 0.5 y la parábola 0.25, así que la recta está arriba:

2. La parábola corta al eje x en x = \pm 2:

3. Iguala 2x = x^2: x = 0 o x = 2. En x = 1, la recta está más alta:

4. Iguala x^2 - 4 = 2 - x: x^2 + x - 6 = 0, así que x = -3 o x = 2. En x = 0, la recta da 2 y la parábola -4, así que la recta está arriba:

5. Las curvas se cortan en x = 0 y x = 1, y \sqrt{x} está arriba entre ambos puntos:

6. En \left[0, \frac{\pi}{4}\right], \cos x \geq \sin x:

7. En [0, 1], e^x \geq 1:

8. Para x > 1, x > \frac{1}{x}:

9. Ambas curvas están escritas como x en función de y, así que integra en y. Iguala y^2 = y + 2: y = -1 o y = 2. En y = 0, la recta da x = 2 y la parábola x = 0, así que la recta está a la derecha:

10. Las curvas se cortan en x = -1, 0, 1. En [0, 1], x \geq x^3. En [-1, 0], x^3 \geq x. Por simetría, los dos trozos son iguales:

Integrar x - x^3 sobre [-1, 1] de una sola vez da 0, lo cual es incorrecto.

Errores comunes en estos ejercicios

• Restar inferior menos superior. Una respuesta negativa es la señal. Prueba un punto para encontrar la curva superior.
• No dividir en un cruce. En el ejercicio 10, una sola integral cancela las dos regiones y da 0.
• Usar límites equivocados. Los límites salen de donde se cortan las curvas, no de los cortes de una curva con el eje x.
• Mezclar x e y. En el ejercicio 9, tanto el integrando como los límites deben estar en y.

Sigue practicando

Para practicar con regiones sin límite y corrección al instante, prueba la lección de área entre curvas y el bloque de práctica de aplicaciones. Después, haz girar estas regiones alrededor de un eje en los ejercicios de volúmenes de revolución.