Ejercicios resueltos de volúmenes de revolución con soluciones

Estos ejercicios de volúmenes de revolución cubren los métodos de discos, arandelas y capas cilíndricas, la rotación alrededor del eje y y la rotación alrededor de rectas que no son ejes. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

Las tres fórmulas, para rotación alrededor del eje x o del eje y:

Para ver dibujos de cada corte, lee la guía de volúmenes de revolución.

Ejercicios

Discos alrededor del eje x

1. y = \sqrt{x}, 0 \le x \le 4, alrededor del eje x
2. y = x^2, 0 \le x \le 1, alrededor del eje x
3. y = \sqrt{9 - x^2}, -3 \le x \le 3, alrededor del eje x
4. y = \sin x, 0 \le x \le \pi, alrededor del eje x

Arandelas

5. La región entre y = x e y = x^2, alrededor del eje x
6. La región entre y = \sqrt{x} e y = x, alrededor del eje x

Alrededor del eje y

7. La región entre y = x^2, y = 4 y el eje y (x \ge 0), alrededor del eje y, por discos
8. La región bajo y = x - x^2 en [0, 1], alrededor del eje y, por capas
9. La región bajo y = x^2 en [0, 2], alrededor del eje y, por capas

Otros ejes

10. La región entre y = x e y = x^2, alrededor de la recta y = -1
11. La región entre y = x^2 e y = 1, alrededor de la recta y = 1

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Cada corte es un disco de radio \sqrt{x}:

2. El radio es x^2, así que R^2 = x^4:

3. El radio al cuadrado es 9 - x^2:

Es una esfera de radio 3, y \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi. Buena comprobación.

4. Usa \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}:

5. En [0, 1], la recta y = x está más lejos del eje, así que R = x y r = x^2:

6. En [0, 1], \sqrt{x} \ge x, así que R = \sqrt{x} y r = x:

7. Corta en horizontal. A la altura y, el radio es x = \sqrt{y}, así que R^2 = y:

8. Una capa en x tiene radio x y altura x - x^2:

9. Una capa en x tiene radio x y altura x^2:

Los ejercicios 7 y 9 describen sólidos distintos que casualmente tienen el mismo volumen. El ejercicio 7 es el sólido que llena el cuenco del paraboloide; el ejercicio 9 es el sólido bajo el cuenco, entre el cuenco y el cilindro x = 2. Juntos llenan un cilindro de radio 2 y altura 4, de volumen 16\pi.

10. Mide desde y = -1. El radio exterior es x + 1 y el interior x^2 + 1:

11. La región toca la recta y = 1, así que usa discos. El radio es 1 - x^2, y las curvas se cortan en x = \pm 1:

Errores comunes en estos ejercicios

• Escribir (R - r)^2. En el ejercicio 5, \pi\int(x - x^2)^2\,dx da \frac{\pi}{30}, no \frac{2\pi}{15}. Eleva al cuadrado cada radio por separado.
• Medir desde el eje equivocado. En el ejercicio 10, los radios son x + 1 y x^2 + 1, no x y x^2.
• Olvidar el \pi o el 2\pi. Las fórmulas de discos y arandelas empiezan con \pi. La de capas empieza con 2\pi.
• Mezclar variables. Los cortes horizontales necesitan todo en función de y, incluidos los límites.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con sólidos nuevos y corrección al instante, prueba la lección de discos, la lección de arandelas y la lección de secciones transversales. Si una región se extiende hasta el infinito, los ejercicios de integrales impropias muestran cómo tratarla.