Ejercicios resueltos de sumas de Riemann con soluciones

Estos ejercicios de sumas de Riemann cubren las sumas por la izquierda, por la derecha, del punto medio y de trapecios, tablas con anchuras desiguales, estimaciones por exceso y por defecto, y cómo convertir un límite de sumas en una integral. Intenta cada uno primero. Primero van las respuestas y después las soluciones completas.

El planteamiento básico:

Las sumas por la izquierda usan el extremo izquierdo de cada subintervalo, las sumas por la derecha el extremo derecho y las sumas del punto medio el centro. Para entender las ideas, lee la guía de sumas de Riemann.

Ejercicios

Una función, cuatro métodos. Usa f(x) = x^2 en [0, 2] con n = 4.

1. Halla la suma de Riemann por la izquierda L_4.
2. Halla la suma de Riemann por la derecha R_4.
3. Halla la suma del punto medio M_4.
4. Halla la suma de trapecios T_4 y compara las cuatro con el valor exacto \int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}.

Por exceso o por defecto

5. Halla la suma por la izquierda L_4 de f(x) = \frac{1}{x} en [1, 3]. ¿Es una estimación de \ln 3 por exceso o por defecto?
6. Se mide la velocidad de un coche en algunos instantes:

Estima la distancia recorrida de t = 0 a t = 6 con una suma por la izquierda, una por la derecha y una de trapecios.

7. Para f(x) = x^2 en [0, 2], explica por qué M_4 < \frac{8}{3} < T_4.

Límites de sumas

8. Escribe \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2 como una integral definida y calcúlala.
9. Halla la suma por la derecha R_n de f(x) = x en [0, 2] en forma cerrada y luego calcula el límite cuando n \to \infty.
10. Estima \int_0^{\pi}\sin x\,dx con una suma del punto medio, n = 4.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. \Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5, así que los puntos son 0, 0.5, 1, 1.5, 2. La suma por la izquierda usa los cuatro primeros:

2. La suma por la derecha usa los cuatro últimos:

3. Los puntos medios son 0.25, 0.75, 1.25, 1.75. Sus cuadrados son 0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625, que suman 5.25:

4. Con anchuras iguales, la suma de trapecios es la media de las sumas por la izquierda y por la derecha:

El valor exacto \frac{8}{3} \approx 2.667 queda entre M_4 y T_4. La suma del punto medio es la más cercana.

5. \Delta x = 0.5 y los puntos de la izquierda son 1, 1.5, 2, 2.5:

Como \frac{1}{x} es decreciente, el extremo izquierdo de cada subintervalo es el punto más alto, así que cada rectángulo sobresale por encima de la curva. Es una estimación por exceso de \ln 3 \approx 1.099.

6. Las anchuras son 2, 3 y 1. Multiplica cada anchura por la altura que corresponda:

• Izquierda: 2(10) + 3(14) + 1(20) = 82 m
• Derecha: 2(14) + 3(20) + 1(18) = 106 m
• Trapecios: 2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94 m

7. Una curva cóncava hacia arriba se curva hacia arriba, así que el lado superior de cada trapecio queda por encima de la curva y T_4 se pasa. Cada rectángulo del punto medio tiene la misma área que el trapecio bajo la recta tangente en ese punto medio, y una curva cóncava hacia arriba queda por encima de sus rectas tangentes, así que M_4 se queda corta.

8. Identifica el patrón \Delta x = \frac{3}{n} y x_i = 1 + \frac{3i}{n}. El intervalo empieza en 1 y tiene longitud 3, así que es [1, 4], y la función es x^2:

9. \Delta x = \frac{2}{n} y x_i = \frac{2i}{n}. Usa \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}:

Coincide con el área del triángulo, \frac{1}{2}(2)(2) = 2.

10. \Delta x = \frac{\pi}{4}, y los puntos medios son \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}. Sus senos valen aproximadamente 0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827, que suman unos 2.6131:

Como \sin x es cóncava hacia abajo en [0, \pi], la suma del punto medio se pasa del valor exacto 2.

Errores comunes en estos ejercicios

• Usar n + 1 alturas. Una suma por la izquierda o por la derecha con n = 4 tiene exactamente cuatro rectángulos. Anota los puntos y tacha el que no usas.
• Suponer anchuras iguales en una tabla. En el ejercicio 6 los saltos son 2, 3 y 1. Usar un único \Delta x da una respuesta incorrecta.
• Confundir las reglas de exceso y defecto. Izquierda y derecha dependen de si la función crece o decrece. Punto medio y trapecios dependen de la concavidad.
• Leer mal el intervalo en un límite. En el ejercicio 8, x_i = 1 + \frac{3i}{n} significa que el intervalo empieza en 1, no en 0.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con funciones nuevas y corrección al instante, trabaja la lección de sumas de Riemann y la lección de sumas de trapecios. Después, mira cómo el límite de estas sumas se convierte en una respuesta exacta en los ejercicios de integrales definidas y los ejercicios del Teorema Fundamental.