Función lineal f(x) = mx + b: gráfica, pendiente, derivada e integral
La función lineal f(x) = mx + b: pendiente y ordenada al origen, su gráfica recta, por qué su derivada es la pendiente m, su integral y ejemplos resueltos.
Funciones algebraicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Dominio
- (-\infty, \infty)
- Rango
- (-\infty, \infty) si m \ne 0
- Derivada
- m
- Integral
- \frac{m}{2}x^2 + bx + C
- Pendiente
- m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
- Ordenada al origen
- (0, b)
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Una función lineal tiene una tasa de cambio constante, así que su gráfica es una recta. Se escribe f(x) = mx + b, donde el número m es la pendiente (cuánto sube f por cada unidad de x) y b es la ordenada al origen, es decir, el corte con el eje y (la salida en x = 0).
Fórmula y formas
La misma recta se puede escribir de otras maneras, según lo que conozcas:
| Forma | Ecuación | Úsala cuando conoces |
|---|---|---|
| Pendiente-ordenada al origen | y = mx + b | la pendiente y el corte con el eje y |
| Punto-pendiente | y - y_1 = m(x - x_1) | la pendiente y un punto |
| General | Ax + By = C | una ecuación que hay que reordenar |
La forma punto-pendiente es la que más se usa en cálculo, porque una recta tangente se construye a partir de un punto (a, f(a)) y una pendiente f'(a).
Gráfica de una función lineal
- m > 0: creciente. m < 0: decreciente. m = 0: una recta horizontal, la función constante.
- Cuanto mayor es |m|, más inclinada es la recta.
- El corte con el eje x está donde mx + b = 0, es decir, x = -\frac{b}{m} cuando m \ne 0.
Derivada de una función lineal
La derivada de mx es m por la regla de la potencia y la regla del múltiplo constante, y la derivada de b es 0. Esto coincide con la geometría: la recta tangente a una recta es la propia recta, y su pendiente nunca cambia. La segunda derivada es 0, así que una recta no tiene concavidad.
Integral de una función lineal
Integrar una recta da una función cuadrática. Para una integral definida en [a, b], la región bajo una recta es un trapecio (o dos triángulos si cruza el eje), así que puedes comprobar cualquier respuesta con geometría.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: pendiente a partir de dos puntos. Encuentra la recta que pasa por (1, 3) y (4, 9).
Ejemplo 2: derivada. Si f(x) = -4x + 7, entonces f'(x) = -4 para todo x.
Ejemplo 3: integral definida. Calcula \int_0^2 (3x + 1)\,dx.
Comprobación: la región es un trapecio con lados paralelos f(0) = 1 y f(2) = 7 y ancho 2, así que su área es \frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8.
Ejemplo 4: una recta tangente. La recta tangente a y = x^2 en x = 3 tiene pendiente 2(3) = 6 y pasa por (3, 9), así que es la función lineal y = 6x - 9.
Errores comunes
- Cambiar el orden en la fórmula de la pendiente. Pon el mismo punto primero arriba y abajo: \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, no \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}.
- Llamar lineal a f(x) = x^2 + 1. Lineal significa que la variable solo aparece elevada a la primera potencia.
- Integrar mx como mx^2. La regla de la potencia inversa divide entre el nuevo exponente: \int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C.
- Confundir "función lineal" con "ecuación lineal con dos incógnitas". Una recta vertical x = 2 es una ecuación lineal, pero no una función.
Cómo se relaciona
Las rectas son la razón de ser de las derivadas: la derivada en un punto es la pendiente de la recta que mejor se ajusta allí. Esa idea impulsa las rectas tangentes, la aproximación lineal y el método de Newton. Las rectas son funciones polinómicas de grado uno, y al integrarlas se obtienen funciones cuadráticas.
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