Función cuadrática: gráfica, vértice, derivada e integral
La función cuadrática f(x) = ax² + bx + c: gráfica de la parábola, fórmula del vértice, raíces, derivada 2ax + b, integral y ejemplos resueltos.
Funciones algebraicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Dominio
- (-\infty, \infty)
- Rango
- \left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right) si a > 0
- Derivada
- 2ax + b
- Integral
- \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C
- Vértice
- x = -\frac{b}{2a}
- Raíces
- x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
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Una función cuadrática es un polinomio de grado dos. Su gráfica es una parábola, una curva simétrica en forma de U con un único punto de giro llamado vértice. Las cuadráticas modelan la altura de un proyectil, áreas y beneficios, y son las primeras curvas en las que las derivadas revelan algo que no se ve en una recta.
Fórmula y formas
| Forma | Ecuación | Muestra |
|---|---|---|
| General | ax^2 + bx + c | corte con el eje y en c |
| Canónica (de vértice) | a(x - h)^2 + k | vértice (h, k) |
| Factorizada | a(x - r_1)(x - r_2) | raíces r_1, r_2 |
Gráfica de una función cuadrática
Características clave:
- Orientación. Abre hacia arriba si a > 0 (el vértice es un mínimo) y hacia abajo si a < 0 (el vértice es un máximo).
- Eje de simetría. La recta vertical x = -\frac{b}{2a}.
- Raíces. Se obtienen con la fórmula general x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. El discriminante b^2 - 4ac indica si hay dos, una o ninguna raíz real.
- Rango. \left[k, \infty\right) si a > 0 y \left(-\infty, k\right] si a < 0, donde k es la altura del vértice.
Derivada de una función cuadrática
Por la regla de la potencia y la regla de la suma:
La derivada de una cuadrática es una función lineal. Se anula en exactamente un punto, x = -\frac{b}{2a}, que es el vértice. La segunda derivada es la constante 2a, así que la parábola es cóncava hacia arriba en todo punto cuando a > 0 y cóncava hacia abajo en todo punto cuando a < 0. Por eso el vértice es siempre el extremo absoluto.
Integral de una función cuadrática
La c minúscula es el término independiente de la cuadrática; la C mayúscula es la constante de integración.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: vértice con cálculo. Para f(x) = x^2 - 2x - 3, f'(x) = 2x - 2 = 0 da x = 1, y f(1) = -4. El vértice es (1, -4), un mínimo porque a = 1 > 0.
Ejemplo 2: altura máxima. La altura de una pelota es h(t) = -5t^2 + 20t + 1 metros. Entonces h'(t) = -10t + 20 = 0 en t = 2, y la altura máxima es h(2) = -20 + 40 + 1 = 21 metros.
Ejemplo 3: área bajo una parábola. Evalúa \int_0^3 (x^2 + 1)\,dx:
Ejemplo 4: recta tangente. Para f(x) = x^2 - 2x - 3 en x = 3: f(3) = 0 y f'(3) = 4, así que la recta tangente es y = 4(x - 3) = 4x - 12.
Errores comunes
- Olvidar el signo menos en -\frac{b}{2a}. Para x^2 - 2x - 3, b = -2, así que el vértice está en x = -\frac{-2}{2} = 1.
- Derivar ax^2 como ax. El exponente baja: \frac{d}{dx}3x^2 = 6x.
- Integrar x^2 como \frac{x^3}{2}. Divide entre el nuevo exponente, 3.
- Desarrollar (x - 2)^2 como x^2 + 4. El desarrollo correcto es x^2 - 4x + 4.
Cómo se relaciona
Las cuadráticas son las funciones polinómicas más sencillas con curvatura, por eso son los primeros ejemplos clásicos en problemas de optimización, trazado de curvas y área entre curvas. El polinomio de Taylor de segundo grado de cualquier función suave es una cuadrática, y por eso las parábolas aproximan tantas curvas cerca de un punto.
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