Fonction affine f(x) = mx + b : courbe, pente, dérivée et primitive
La fonction affine f(x) = mx + b : pente et ordonnée à l'origine, sa droite représentative, pourquoi sa dérivée est la pente m, sa primitive et des exemples.
Fonctions algébriques Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Domaine de définition
- (-\infty, \infty)
- Ensemble image
- (-\infty, \infty) si m \ne 0
- Dérivée
- m
- Primitive
- \frac{m}{2}x^2 + bx + C
- Pente
- m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
- Ordonnée à l'origine
- (0, b)
Sur cette page
Une fonction affine a un taux de variation constant : sa courbe représentative est donc une droite. Lorsqu'on l'écrit f(x) = mx + b, le nombre m est la pente, ou coefficient directeur (de combien f augmente par unité de x), et b est l'ordonnée à l'origine, où la droite coupe l'axe des y (la valeur en x = 0). Lorsque l'ordonnée à l'origine est nulle, on parle en France de fonction linéaire.
Formule et différentes écritures
Une même droite peut s'écrire de plusieurs façons, selon ce que l'on connaît :
| Forme | Équation | À utiliser quand on connaît |
|---|---|---|
| Équation réduite | y = mx + b | la pente et l'ordonnée à l'origine (sur l'axe des y) |
| Point et pente | y - y_1 = m(x - x_1) | la pente et un point |
| Équation cartésienne | Ax + By = C | une équation à réorganiser |
La forme « point et pente » est celle que l'analyse utilise le plus, car une tangente se construit à partir d'un point (a, f(a)) et d'une pente f'(a).
Courbe d'une fonction affine
- m > 0 : croissante. m < 0 : décroissante. m = 0 : une droite horizontale, la fonction constante.
- Plus |m| est grand, plus la droite est raide.
- L'intersection avec l'axe des x a lieu lorsque mx + b = 0, c'est-à-dire en x = -\frac{b}{m} lorsque m \ne 0.
Dérivée d'une fonction affine
La dérivée de mx est m d'après la règle de la puissance et la règle du multiple constant, et la dérivée de b est 0. Cela correspond à la géométrie : la tangente à une droite est la droite elle-même, et sa pente ne change jamais. La dérivée seconde est 0, donc une droite n'est ni convexe ni concave au sens strict.
Primitive d'une fonction affine
Intégrer une fonction affine donne une fonction du second degré. Pour une intégrale définie sur [a, b], la région sous une droite est un trapèze (ou deux triangles si la droite coupe l'axe), ce qui permet de vérifier tout résultat par la géométrie.
Exemples corrigés
Exemple 1 : pente à partir de deux points. Trouvons la droite passant par (1, 3) et (4, 9).
Exemple 2 : dérivée. Si f(x) = -4x + 7, alors f'(x) = -4 pour tout x.
Exemple 3 : intégrale définie. Calculons \int_0^2 (3x + 1)\,dx.
Vérification : la région est un trapèze de côtés parallèles f(0) = 1 et f(2) = 7 et de largeur 2, donc son aire vaut \frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8.
Exemple 4 : une tangente. La tangente à y = x^2 en x = 3 a pour pente 2(3) = 6 et passe par (3, 9) : c'est donc la fonction affine y = 6x - 9.
Erreurs fréquentes
- Inverser l'ordre dans la formule de la pente. Gardez le même point en premier au numérateur et au dénominateur : \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, et non \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}.
- Dire que f(x) = x^2 + 1 est affine. Affine signifie que la variable n'apparaît qu'à la puissance un.
- Intégrer mx en mx^2. La règle de la puissance à l'envers divise par le nouvel exposant : \int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C.
- Confondre « fonction affine » et « équation de droite ». Une droite verticale x = 2 a bien une équation, mais elle ne représente pas une fonction.
Liens avec le reste du programme
Les droites sont la raison d'être des dérivées : la dérivée en un point est la pente de la droite qui approche le mieux la courbe en ce point. Cette idée est à la base des tangentes, de l'approximation affine et de la méthode de Newton. Les fonctions affines sont les fonctions polynômes de degré un, et les intégrer conduit aux fonctions du second degré.
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