Funciones polinómicas: grado, gráficas, derivadas e integrales
Funciones polinómicas: grado, término principal, comportamiento en los extremos, raíces y puntos de giro, y cómo derivar e integrar cualquier polinomio.
Funciones algebraicas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Dominio
- (-\infty, \infty)
- Derivada
- na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1
- Integral
- \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C
- Continuidad
- Continua y derivable en todo punto
- Raíces reales
- Como máximo n
- Puntos de giro
- Como máximo n - 1
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Una función polinómica es una suma finita de funciones potencia con exponentes enteros no negativos, cada una multiplicada por una constante. Las rectas, las parábolas y las cúbicas son polinomios. Son las funciones más amigables del cálculo: continuas en todo punto, suaves en todo punto, y se derivan o integran término a término.
Definición y fórmula
- El grado es n, la mayor potencia con coeficiente distinto de cero.
- El término principal es a_nx^n y el coeficiente principal es a_n.
- El término independiente a_0 es la ordenada al origen (el corte con el eje y).
Los exponentes deben ser enteros no negativos 0, 1, 2, \ldots. Así, x^3 - 2x es un polinomio, pero \sqrt{x}, \frac{1}{x} y 2^x no lo son.
| Grado | Nombre | Ejemplo |
|---|---|---|
| 0 | constante | 5 |
| 1 | lineal | 2x - 1 |
| 2 | cuadrática | x^2 + 3x |
| 3 | cúbica | x^3 - 3x |
| 4 | cuártica | x^4 - x^2 |
Gráfica de un polinomio
Propiedades clave
- Continua y derivable en todo punto. Sin huecos, saltos, picos ni asíntotas, así que todo límite se calcula por sustitución directa.
- El comportamiento en los extremos depende solo del término principal. Grado par con a_n > 0: ambos extremos hacia arriba. Grado impar con a_n > 0: hacia abajo a la izquierda, hacia arriba a la derecha. Un a_n negativo invierte la imagen.
- Raíces. Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales. Un polinomio de grado impar siempre tiene al menos una, por el Teorema del Valor Intermedio.
- Puntos de giro. Como máximo n - 1, porque f' tiene grado n - 1.
Derivada de un polinomio
Combina la regla de la potencia, la regla del múltiplo constante y la regla de la suma:
El término independiente desaparece y el grado baja en uno. Derivar n + 1 veces da 0.
Integral de un polinomio
El grado sube en uno. Las integrales definidas de polinomios siempre son fáciles de evaluar con el Teorema Fundamental del Cálculo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: derivada. \frac{d}{dx}\left(4x^5 - 2x^3 + 7x - 1\right) = 20x^4 - 6x^2 + 7.
Ejemplo 2: puntos de giro. Para f(x) = x^3 - 3x, f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1), que se anula en x = \pm 1. Entonces f(-1) = 2 es un máximo local y f(1) = -2 es un mínimo local.
Ejemplo 3: integral. \int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C.
Ejemplo 4: integral definida. \int_0^2 (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2.
Errores comunes
- Derivar un producto sin desarrollarlo ni usar la regla del producto. \frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(x - 3)\right] no es 2x \cdot 1. Desarrolla primero o usa la regla del producto.
- Conservar el término independiente en una derivada. \frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x, no 2x + 5.
- Olvidar el +\,C en las integrales indefinidas.
- Juzgar el comportamiento en los extremos por el primer término escrito. Usa el término de mayor grado, esté donde esté.
Cómo se relaciona
Al dividir dos polinomios se obtienen las funciones racionales. Los polinomios de Taylor aproximan otras funciones mediante polinomios, y las series de Taylor llevan esta idea a infinitos términos. Para las reglas detrás de cada paso, consulta las funciones potencia.
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