Lineare Funktion f(x) = mx + b: Graph, Steigung, Ableitung, Integral
Die lineare Funktion f(x) = mx + b: Steigung und y-Achsenabschnitt, der Graph als Gerade, warum die Ableitung die Steigung m ist, Integral und Beispiele.
Algebraische Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Definitionsbereich
- (-\infty, \infty)
- Wertebereich
- (-\infty, \infty) für m \ne 0
- Ableitung
- m
- Integral
- \frac{m}{2}x^2 + bx + C
- Steigung
- m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
- y-Achsenabschnitt
- (0, b)
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Eine lineare Funktion hat eine konstante Änderungsrate, daher ist ihr Graph eine Gerade. In der Schreibweise f(x) = mx + b ist die Zahl m die Steigung (um wie viel f pro Einheit von x steigt) und b der y-Achsenabschnitt (der Funktionswert bei x = 0).
Formel und Darstellungsformen
Dieselbe Gerade lässt sich auch anders schreiben, je nachdem, was du kennst:
| Form | Gleichung | Verwende sie, wenn du Folgendes kennst |
|---|---|---|
| Normalform | y = mx + b | die Steigung und den y-Achsenabschnitt |
| Punkt-Steigungs-Form | y - y_1 = m(x - x_1) | die Steigung und einen Punkt |
| Allgemeine Form | Ax + By = C | eine Gleichung, die du umstellen willst |
Die Punkt-Steigungs-Form wird in der Analysis am häufigsten verwendet, weil eine Tangente aus einem Punkt (a, f(a)) und einer Steigung f'(a) aufgebaut wird.
Graph einer linearen Funktion
- m > 0: steigend. m < 0: fallend. m = 0: eine waagerechte Gerade, die konstante Funktion.
- Je größer |m| ist, desto steiler ist die Gerade.
- Die Nullstelle, also der Schnittpunkt mit der x-Achse, liegt dort, wo mx + b = 0 ist, also bei x = -\frac{b}{m} für m \ne 0.
Ableitung einer linearen Funktion
Die Ableitung von mx ist nach der Potenzregel und der Faktorregel gleich m, und die Ableitung von b ist 0. Das passt zur Geometrie: Die Tangente an eine Gerade ist die Gerade selbst, und ihre Steigung ändert sich nie. Die zweite Ableitung ist 0, eine Gerade hat also keine Krümmung.
Integral einer linearen Funktion
Integriert man eine Gerade, erhält man eine quadratische Funktion. Beim bestimmten Integral über [a, b] ist die Fläche unter einer Geraden ein Trapez (oder zwei Dreiecke, falls sie die Achse schneidet), sodass du jedes Ergebnis geometrisch überprüfen kannst.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Steigung aus zwei Punkten. Bestimme die Gerade durch (1, 3) und (4, 9).
Beispiel 2: Ableitung. Für f(x) = -4x + 7 gilt f'(x) = -4 für jedes x.
Beispiel 3: bestimmtes Integral. Berechne \int_0^2 (3x + 1)\,dx.
Probe: Die Fläche ist ein Trapez mit den parallelen Seiten f(0) = 1 und f(2) = 7 und der Breite 2, ihr Inhalt ist also \frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8.
Beispiel 4: eine Tangente. Die Tangente an y = x^2 bei x = 3 hat die Steigung 2(3) = 6 und verläuft durch (3, 9). Sie ist also die lineare Funktion y = 6x - 9.
Häufige Fehler
- Die Reihenfolge in der Steigungsformel vertauschen. Nimm oben und unten denselben Punkt zuerst: \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, nicht \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}.
- f(x) = x^2 + 1 als linear bezeichnen. Linear bedeutet, dass die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt.
- mx zu mx^2 integrieren. Die umgekehrte Potenzregel teilt durch den neuen Exponenten: \int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C.
- „Lineare Funktion“ mit „linearer Gleichung mit zwei Unbekannten“ verwechseln. Eine senkrechte Gerade x = 2 ist eine lineare Gleichung, aber keine Funktion.
Zusammenhänge
Geraden sind der Grund, warum es Ableitungen gibt: Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung der bestmöglichen Geraden durch diesen Punkt. Diese Idee steckt hinter Tangenten, der linearen Approximation und dem Newton-Verfahren. Geraden sind Polynomfunktionen vom Grad eins, und ihre Integration führt zu quadratischen Funktionen.
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