Integral de e^(x²): por qué no tiene una fórmula sencilla

e^{x^2} no tiene antiderivada elemental, y tampoco la campana de Gauss e^{-x^2}. Ninguna fórmula construida con potencias, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas tiene a ninguna de las dos como derivada. Aun así, las antiderivadas existen y tienen nombre:

Y una integral definida famosa tiene un valor exacto:

Gráfica de e^(x²) y e^(−x²)

Por qué fallan los métodos habituales

• Cambio de variable. u = x^2 necesita du = 2x\,dx, y no hay ninguna x que lo aporte. Compárala con \int xe^{x^2}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^2} + C, que sí funciona.
• Dividir entre la derivada del interior. Ese atajo solo funciona cuando la pendiente del interior es constante, como en la integral de e²ˣ. Aquí la pendiente 2x cambia.
• Integración por partes. Cualquier elección de u y dv lleva a una integral más difícil.

No es mala suerte. Joseph Liouville demostró en la década de 1830 que \int e^{x^2}\,dx no se puede escribir en términos elementales. Otras funciones de la misma familia son \frac{\sin x}{x} y \frac{1}{\ln x}.

La función error

Como la antiderivada existe pero no tiene fórmula, recibe su propio nombre. La función error es

El factor \frac{2}{\sqrt{\pi}} se elige para que \operatorname{erf}(x) \to 1 cuando x \to \infty. Por el Teorema Fundamental del Cálculo, primera parte, su derivada es \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}, lo que da la fórmula de arriba. La función error imaginaria \operatorname{erfi}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{t^2}\,dt cumple el mismo papel para e^{x^2}.

La función error está por todas partes en estadística, ya que la distribución normal es una copia estirada de e^{-x^2}. La función de distribución normal de tu calculadora está calculando erf por detrás.

La solución en serie de potencias

Siempre puedes obtener una antiderivada en forma de serie. Parte de e^u = \sum_{n=0}^\infty \frac{u^n}{n!} con u = x^2 e integra término a término:

La serie converge para todo x. Para e^{-x^2} los signos se alternan: x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \cdots

Comprobación derivando. La derivada de \frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)} es \frac{x^{2n}}{n!} = \frac{(x^2)^n}{n!}, y la suma de todas ellas es e^{x^2}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: una integral definida mediante series. Sustituye x = 1 en la serie:

Ejemplo 2: la campana de 0 a 1. La serie alternada da

Como la serie es alternada, el error al parar es menor que el primer término que se omite.

Ejemplo 3: la integral de Gauss. Llama I = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx. Multiplica dos copias, una en x y otra en y, y pasa a coordenadas polares, donde dx\,dy = r\,dr\,d\theta:

La r extra es justo el factor que hace que funcione u = r^2. Así que I = \sqrt{\pi}. La lección de integrales dobles en polares trata el cambio de coordenadas.

Ejemplo 4: una campana escalada. Con x = \frac{t}{\sqrt{a}}, \int_{-\infty}^{\infty}e^{-at^2}\,dt = \sqrt{\frac{\pi}{a}} para a > 0.

Errores comunes

1. Escribir \frac{e^{x^2}}{2x} + C. Derívalo y verás que no funciona.
2. Suponer que toda integral tiene fórmula. Algunas no la tienen. En un examen, una integral definida de e^{x^2} suele significar "usa una serie" o "usa la calculadora".
3. Confundir e^{x^2} con (e^x)^2. (e^x)^2 = e^{2x}, cuya integral es \frac{1}{2}e^{2x}. e^{x^2} significa e elevado a x^2.
4. Olvidar comprobar si hay una x. Si el integrando es xe^{x^2} o xe^{-x^2}, basta un cambio de variable sencillo.

Para técnicas con series, consulta la guía de series de Taylor. Para las exponenciales más sencillas, consulta la integral de eˣ y la integral de e⁻ˣ.