Integral de e^(−x): fórmula, pasos y ejemplos

La integral de e^{-x} es -e^{-x} + C. El único cambio respecto a la integral de eˣ es el signo menos, que viene del -1 del exponente.

Gráfica de e⁻ˣ y su área

e^{-x} es un decrecimiento exponencial: empieza en 1 cuando x = 0 y pierde la misma fracción de su altura en cada paso de una unidad. Ese decrecimiento constante es lo que hace que la cola infinita sume un área finita.

Cómo integrar e⁻ˣ paso a paso

1. Sea u = -x. Entonces du = -dx, así que dx = -du.
2. Reescribe: \displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du.
3. Integra: -e^u + C.
4. Deshaz el cambio: -e^{-x} + C.

Es el caso k = -1 de la regla \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C de la página de la integral de e²ˣ. Para tasas de decrecimiento k > 0:

Comprobación derivando

Los dos signos menos se cancelan. Consulta la derivada de e⁻ˣ.

Integrales definidas e impropias

De 0 a 1: \left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632.

De 0 a ∞: es una integral impropia, así que hay que tomar un límite:

Una tasa de decrecimiento k. \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} para k > 0. Al multiplicar por k se obtiene \int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1, la probabilidad total de la distribución exponencial que se usa para tiempos de espera.

Comprobación de la vida media. \int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. La mitad del área total queda antes de x = \ln 2 \approx 0.693.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un exponente escalado. \displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C.

Ejemplo 2: x por e⁻ˣ. Usa la integración por partes con u = x y dv = e^{-x}\,dx, de modo que du = dx y v = -e^{-x}:

De 0 a \infty vale 0 - (-1) = 1, porque xe^{-x} \to 0 cuando x \to \infty.

Ejemplo 3: un fármaco en la sangre. Un fármaco se elimina del cuerpo a un ritmo de 40e^{-0.5t} mg por hora. La cantidad eliminada en las primeras 4 horas es

Ejemplo 4: funciones hiperbólicas. \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, así que

Errores comunes

1. Perder el signo menos. \int e^{-x}\,dx no es e^{-x} + C. Deriva tu resultado: deberías obtener +e^{-x}.
2. Escribir \frac{e^{-x+1}}{-x+1}. Eso es aplicar la regla de la potencia a una exponencial, algo que nunca es válido.
3. Dar por divergente la integral impropia. El intervalo es infinito, pero el área es 1. Usa un límite; no te quedes en "infinito".
4. Confundir e^{-x} con e^{-x^2}. La campana de Gauss e^{-x^2} no tiene antiderivada elemental; consulta la integral de e^(x²).

Para más sobre productos como xe^{-x}, consulta la integral de x eˣ.