Integral de sec x tan x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de \sec x\tan x es \sec x + C. Es la inversa de una de las seis derivadas trigonométricas básicas, así que conviene reconocerla a primera vista.

Gráfica de sec x tan x y su antiderivada

\sec x\tan x es una función impar, así que su antiderivada \sec x es par.

Deducción

1. Recuerda la derivada de sec x: \frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x.
2. Inviértela: \sec x es una antiderivada de \sec x\tan x.
3. Añade C.

Si quieres ver de dónde sale la derivada, escribe \sec x = (\cos x)^{-1} y usa la regla de la cadena:

Comprobación derivando

Cómo reconocerla disfrazada

La integral no siempre llega etiquetada. Cada una de estas es \sec x\tan x:

También puedes resolver la primera fila directamente con u = \cos x: \int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\,dx = -\int u^{-2}\,du = u^{-1} + C = \sec x + C.

Integrales definidas

En un intervalo simétrico como \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] la integral es 0, porque el integrando es impar.

Variantes por sustitución

Ejemplo 1. \int\sec(5x)\tan(5x)\,dx = \frac{1}{5}\sec(5x) + C.

Ejemplo 2: potencias de la secante. Con u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx:

Ejemplo 3: potencias impares de la tangente. \int\tan^3 x\sec x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\sec x\tan x\,dx = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C.

Ejemplo 4: la pareja con cosecante. \int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C, ya que \frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x.

Errores comunes

1. Integrar cada factor por separado. \int\sec x\tan x\,dx no es \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\cdot\ln\lvert\sec x\rvert. Las integrales no se separan sobre los productos.
2. Responder \tan x. Esa es la integral de \sec^2 x. Consulta la integral de sec² x.
3. Responder \csc x en la versión con cosecante. Le falta un signo menos: -\csc x + C.
4. No ver el disfraz. Prueba siempre a reescribir \frac{\sin x}{\cos^2 x} antes de recurrir a un método más difícil.

Practica con los ejercicios de integrales trigonométricas.