Integral de tan x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de \tan x es \ln\lvert\sec x\rvert + C. Ninguna derivada básica da \tan x directamente, así que el resultado sale de un cambio de variable rápido.

Gráfica de tan x y su antiderivada

Deducción paso a paso

1. Reescribe con seno y coseno: \displaystyle\int\tan x\,dx = \int\frac{\sin x}{\cos x}\,dx.
2. Sea u = \cos x. Entonces du = -\sin x\,dx, así que \sin x\,dx = -du.
3. Sustituye: \displaystyle\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C.
4. Deshaz el cambio u = \cos x: -\ln\lvert\cos x\rvert + C.
5. Simplifica con una propiedad de los logaritmos: -\ln\lvert\cos x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\cos x\rvert} = \ln\lvert\sec x\rvert.

El paso 3 usa la integral de 1/x. Es el patrón \int\frac{f'}{f}\,dx = \ln\lvert f\rvert, con un signo menos porque arriba está -f'.

Comprobación derivando

Esto usa la derivada de sec x, \sec x\tan x. Compárala con la derivada de tan x, que es \sec^2 x: un resultado completamente distinto.

Integrales definidas

Como \tan x es impar, \int_{-a}^{a}\tan x\,dx = 0 para a < \frac{\pi}{2}. Integrar hasta \frac{\pi}{2} da una integral impropia que diverge, porque \ln\sec x \to \infty.

Variantes por sustitución

Por ejemplo, \int\tan(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\sec(3x)\rvert + C.

Con la derivada del interior como factor: \int x\tan(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sec(x^2)\rvert + C.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: tan por sec². \int\tan x\sec^2 x\,dx con u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx, da \frac{\tan^2 x}{2} + C.

Ejemplo 2: tangente al cubo. Usa \tan^2 x = \sec^2 x - 1:

Ejemplo 3: su pareja, la cotangente. Los mismos pasos con u = \sin x dan \int\cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C. Consulta la integral de cot x.

Errores comunes

1. Responder \sec^2 x. Esa es la derivada de \tan x, no la integral.
2. Responder \ln\lvert\cos x\rvert sin el signo menos. Su derivada es -\tan x.
3. Quitar el valor absoluto. \cos x es negativo en \left(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right), y el \ln de un número negativo no está definido.
4. Confundirla con \int\tan^2 x\,dx, que es \tan x - x + C. Consulta la integral de tan² x.

Practica con los ejercicios de cambio de variable.