Derivada de sec x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de sec x es sec x tan x. Demostración a partir de 1/cos x, regla de la cadena para sec(u), gráfica y ejemplos resueltos como sec(2x) y x sec x.
Derivadas trigonométricas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- \sec x\tan x para x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- En función de sen y cos
- \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\sec u = \sec u\tan u \cdot u'
- Pendiente en x = 0
- \sec 0\tan 0 = 0
- Versión para integrales
- \int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C
En esta página
La derivada de \sec x es \sec x\tan x. La secante es el recíproco del coseno, así que su derivada sale directamente de la derivada de cos x.
Gráfica de sec x y de su derivada
Demostración con la regla de la cadena
Escribe \sec x = (\cos x)^{-1}. La regla de la cadena con la potencia -1 por fuera y \cos x por dentro da
Separa la fracción en dos piezas conocidas:
La regla del cociente aplicada a \frac{1}{\cos x} da lo mismo: \frac{0\cdot\cos x - 1\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos^2 x}.
La versión con la regla de la cadena: derivada de sec(u)
Tanto \sec como \tan conservan el mismo interior.
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \sec(2x) | 2x | 2\sec(2x)\tan(2x) |
| \sec(x^2) | x^2 | 2x\sec(x^2)\tan(x^2) |
| \sec(3x + 1) | 3x + 1 | 3\sec(3x + 1)\tan(3x + 1) |
| \sec\left(\frac{1}{x}\right) | \frac{1}{x} | -\frac{1}{x^2}\sec\frac{1}{x}\tan\frac{1}{x} |
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un producto. \frac{d}{dx}(x\sec x) = \sec x + x\sec x\tan x = \sec x(1 + x\tan x).
Ejemplo 2: una potencia. \frac{d}{dx}\sec^3 x = 3\sec^2 x\cdot\sec x\tan x = 3\sec^3 x\tan x.
Ejemplo 3: una suma que se simplifica. \frac{d}{dx}(\sec x + \tan x) = \sec x\tan x + \sec^2 x = \sec x(\tan x + \sec x). Este resultado tan limpio es el truco que hay detrás de la integral de sec x, \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.
Ejemplo 4: un valor. En x = \frac{\pi}{3}, \sec\frac{\pi}{3} = 2 y \tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}, así que la pendiente es 2\sqrt{3} \approx 3.46.
Cómo recordarla
En cálculo, la secante y la tangente siempre van juntas. La derivada de \tan x es \sec^2 x, y la derivada de \sec x es \sec x\tan x. Una forma de no confundirlas: la derivada de la tangente no contiene ninguna tangente, mientras que la derivada de la secante contiene ambas funciones una vez cada una. Comprobar un valor también ayuda. En x = 0 la secante tiene su mínimo, así que la pendiente tiene que ser cero, y efectivamente \tan 0 = 0.
Errores comunes
- Escribir \tan^2 x o \sec^2 x. La derivada de \sec x es \sec x\tan x. \sec^2 x es la derivada de \tan x.
- Añadir un signo menos. La secante no es una función "co", así que su derivada es positiva. Compárala con la derivada de csc x, -\csc x\cot x.
- Cambiar solo uno de los interiores. \frac{d}{dx}\sec(5x) = 5\sec(5x)\tan(5x). Los dos factores conservan 5x.
Leer el resultado al revés da la integral de sec x tan x. La página de funciones trigonométricas recíprocas trata la gráfica de la secante.
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