Propiedades de la integral definida: reglas, simetría y ejemplos
Las propiedades de la integral definida: invertir los límites, intervalo nulo, aditividad, simetría de funciones pares e impares y acotación, con ejemplos.
Reglas de integración Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Intervalo nulo
- \int_a^a f(x)\,dx = 0
- Límites invertidos
- \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx
- Constante
- \int_a^b k\,dx = k(b - a)
- Función impar
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0
- Función par
- \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx
- Comparación
- Si f(x) \le g(x) en [a, b], entonces \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx
En esta página
Las propiedades de la integral definida son las reglas para manipular \int_a^b f(x)\,dx sin calcularla desde cero: invertir los límites, dividir el intervalo, aprovechar la simetría y estimar su tamaño. Todas se deducen de ver la integral como un área con signo, o del Teorema Fundamental del Cálculo.
Las propiedades
Supón que f y g son integrables en los intervalos que intervienen.
| Propiedad | Enunciado |
|---|---|
| Intervalo nulo | \int_a^a f(x)\,dx = 0 |
| Límites invertidos | \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx |
| Constante | \int_a^b k\,dx = k(b-a) |
| Linealidad | \int_a^b [\alpha f + \beta g]\,dx = \alpha\int_a^b f\,dx + \beta\int_a^b g\,dx |
| Aditividad | \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx = \int_a^c f\,dx |
| Comparación | f \le g en [a,b] \Rightarrow \int_a^b f\,dx \le \int_a^b g\,dx |
| Acotación | m \le f \le M en [a,b] \Rightarrow m(b-a) \le \int_a^b f\,dx \le M(b-a) |
| Simetría impar | f(-x) = -f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 0 |
| Simetría par | f(-x) = f(x) \Rightarrow \int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx |
Las propiedades de comparación y acotación suponen a < b. La aditividad se cumple para cualquier orden de a, b y c, siempre que f sea integrable en los intervalos, gracias a la regla de los límites invertidos.
Por qué se cumplen
Si F es una antiderivada (primitiva) de f, entonces \int_a^b f\,dx = F(b) - F(a). A partir de ahí, cada propiedad es una línea de álgebra:
- intervalo nulo: F(a) - F(a) = 0;
- límites invertidos: F(a) - F(b) = -\left(F(b) - F(a)\right);
- aditividad: \left(F(b) - F(a)\right) + \left(F(c) - F(b)\right) = F(c) - F(a).
La linealidad tiene su propia página: linealidad de la integral.
Simetría: funciones pares e impares
![Área con signo de la función impar y = x³ − 2x en [−1.5, 1.5]](https://practicecalculus.com/es/reglas/propiedades-de-la-integral-definida/graphs/0.svg)
Una función impar es simétrica respecto al origen, así que cada trozo de área positiva tiene su trozo correspondiente de área negativa. Una función par es simétrica respecto al eje y, así que las dos mitades son iguales y basta con duplicar una de ellas. Comprobar primero la simetría puede convertir un cálculo largo en una sola línea.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: simetría impar. x^5 - 4x^3 + \sin x es impar, así que
Ejemplo 2: simetría par. x^2 es par, así que
Ejemplo 3: aditividad y límites invertidos. Sabiendo que \int_0^5 f(x)\,dx = 10 y \int_0^2 f(x)\,dx = 3:
Ejemplo 4: un valor absoluto. Divide donde el interior cambia de signo. En [-1, 0], \lvert x\rvert = -x; en [0, 2], \lvert x\rvert = x:
Ejemplo 5: estimar con cotas. En [0, 1], e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1, así que
Esta integral no tiene una antiderivada elemental y, aun así, las cotas la delimitan. Su valor real es aproximadamente 0.747.
Errores comunes
- Usar la simetría en un intervalo no simétrico. \int_{-1}^{2} x^3\,dx no vale 0. El intervalo tiene que ser [-a, a].
- Decir que una función es impar sin comprobarlo. x^3 + 1 no es ni par ni impar, así que \int_{-1}^{1} (x^3 + 1)\,dx = 2, no 0.
- Olvidar el cambio de signo al invertir los límites.
- Confundir el área con signo con el área total. \int_{-1}^{1} x\,dx = 0, pero el área sombreada total es 1. Para calcular áreas, integra \lvert f(x)\rvert, como en el área entre curvas.
Para ver cómo se relacionan estas propiedades con las sumas de Riemann y el cálculo de integrales, consulta las guías sobre sumas de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo.
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La integral definida como área
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