Regra da potência inversa para integrais: fórmula, exemplos e n = −1
A regra da potência inversa: a integral de x^n é x^(n+1)/(n+1) + C para n ≠ −1. Fórmula, exemplos com raízes e potências negativas, e a exceção ln|x|.
Regras de integração Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Aplica-se a
- Qualquer potência de x com expoente constante n \ne -1
- Em palavras
- Some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente
- Exceção
- \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
- Verificação
- Derive a resposta com a regra da potência; você deve obter x^n de volta
- Regras relacionadas
- Regra da potência, linearidade da integral, integração por substituição
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A regra da potência inversa encontra a antiderivada (primitiva) de qualquer potência de x. É a regra da potência ao contrário: em vez de diminuir o expoente e multiplicar, você aumenta o expoente e divide.
A fórmula da regra da potência inversa
Para qualquer expoente constante n \ne -1:
Dois movimentos: some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente. O +C aparece porque toda função tem infinitas antiderivadas que diferem por uma constante.
Você sempre pode conferir a resposta derivando-a:
Exemplos
| Integrando | Reescrita | Antiderivada |
|---|---|---|
| x^4 | x^4 | \frac{x^5}{5} + C |
| x | x^1 | \frac{x^2}{2} + C |
| 5 | 5x^0 | 5x + C |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + C |
| \frac{1}{x^3} | x^{-3} | -\frac{1}{2x^2} + C |
| \frac{1}{\sqrt{x}} | x^{-1/2} | 2\sqrt{x} + C |
| \frac{1}{x} | x^{-1} | \ln\lvert x\rvert + C (exceção) |
Exemplo: um polinômio. Combine a regra com a linearidade e integre termo a termo:
Exemplo: uma potência negativa. Reescreva \frac{4}{x^5} como 4x^{-5}:
O expoente sobe de -5 para -4. Somar um a um número negativo o torna menos negativo.
Exemplo: uma potência fracionária. Para \int \sqrt[3]{x}\,dx, escreva x^{1/3}. O novo expoente é \frac{4}{3}, e dividir por \frac{4}{3} significa multiplicar por \frac{3}{4}:
A exceção n = −1
Quando n = -1, a fórmula pede uma divisão por zero, então ela falha. A antiderivada de x^{-1} é o logaritmo natural:
O valor absoluto faz a resposta valer também para x negativo. É por isso que \frac{1}{x} tem sua própria linha em toda tabela de integrais.
Quando usar a regra da potência inversa
Use quando o integrando for uma soma de termos da forma kx^n, possivelmente depois de reescrever:
- polinômios, um termo de cada vez;
- raízes, depois de convertê-las em expoentes fracionários;
- termos com x no denominador, depois de convertê-los em expoentes negativos;
- produtos ou quocientes que você pode expandir ou separar antes, como \frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}.
Se a base for algo diferente de x sozinho, como (3x-2)^5, você precisa da integração por substituição. Se a variável estiver no expoente, como em 2^x, você precisa da regra da exponencial \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C.
Erros comuns
- Dividir pelo expoente antigo. \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C, não \frac{x^4}{3} + C.
- Aplicá-la a produtos. \int x(x+1)\,dx não é \frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right). Expanda para x^2 + x primeiro.
- Usá-la em \frac{1}{x}. \int x^{-1}\,dx é \ln\lvert x\rvert + C, não \frac{x^0}{0}.
- Esquecer o +C. Uma integral indefinida é uma família inteira de funções.
- Tratar a potência de um binômio como uma potência de x. \int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C. Derivar essa resposta gera um fator 2 a mais.
Para uma visão geral das antiderivadas, incluindo as regras trigonométricas e exponenciais, leia o guia completo de antiderivadas.
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A regra da potência ao contrário
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