Potenzregel für Integrale: Formel, Beispiele und n = −1
Die umgekehrte Potenzregel: Das Integral von x^n ist x^(n+1)/(n+1) + C für n ≠ −1. Formel, Beispiele mit Wurzeln und negativen Exponenten, Sonderfall ln|x|.
Integrationsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Gilt für
- Jede Potenz von x mit konstantem Exponenten n \ne -1
- In Worten
- Den Exponenten um eins erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen
- Ausnahme
- \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
- Probe
- Leite das Ergebnis mit der Potenzregel ab; du solltest x^n zurückerhalten
- Verwandte Regeln
- Potenzregel, Linearität des Integrals, Substitutionsregel
Auf dieser Seite
Mit der umgekehrten Potenzregel findest du die Stammfunktion jeder Potenz von x. Sie ist die Potenzregel rückwärts angewendet: Statt den Exponenten zu verringern und zu multiplizieren, erhöhst du den Exponenten und teilst.
Die Formel der umgekehrten Potenzregel
Für jeden konstanten Exponenten n \ne -1 gilt:
Zwei Schritte: Den Exponenten um eins erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Das +C steht da, weil jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen hat, die sich um eine Konstante unterscheiden.
Das Ergebnis kannst du immer durch Ableiten überprüfen:
Beispiele
| Integrand | Umgeschrieben | Stammfunktion |
|---|---|---|
| x^4 | x^4 | \frac{x^5}{5} + C |
| x | x^1 | \frac{x^2}{2} + C |
| 5 | 5x^0 | 5x + C |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + C |
| \frac{1}{x^3} | x^{-3} | -\frac{1}{2x^2} + C |
| \frac{1}{\sqrt{x}} | x^{-1/2} | 2\sqrt{x} + C |
| \frac{1}{x} | x^{-1} | \ln\lvert x\rvert + C (Ausnahme) |
Beispiel: ein Polynom. Kombiniere die Regel mit der Linearität und integriere Glied für Glied:
Beispiel: ein negativer Exponent. Schreibe \frac{4}{x^5} als 4x^{-5}:
Der Exponent geht von -5 auf -4. Addiert man eins zu einer negativen Zahl, wird sie weniger negativ.
Beispiel: ein gebrochener Exponent. Bei \int \sqrt[3]{x}\,dx schreibst du x^{1/3}. Der neue Exponent ist \frac{4}{3}, und durch \frac{4}{3} zu teilen heißt, mit \frac{3}{4} zu multiplizieren:
Die Ausnahme n = −1
Für n = -1 verlangt die Formel eine Division durch null, sie versagt also. Die Stammfunktion von x^{-1} ist der natürliche Logarithmus:
Durch den Betrag gilt das Ergebnis auch für negative x. Deshalb hat \frac{1}{x} in jeder Integraltabelle eine eigene Zeile.
Wann man die umgekehrte Potenzregel verwendet
Verwende sie, wenn der Integrand eine Summe von Termen der Form kx^n ist, eventuell nach dem Umschreiben:
- Polynome, Glied für Glied;
- Wurzeln, nach dem Umschreiben in gebrochene Exponenten;
- Terme mit x im Nenner, nach dem Umschreiben in negative Exponenten;
- Produkte oder Quotienten, die du zuerst ausmultiplizieren oder aufteilen kannst, etwa \frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}.
Ist die Basis etwas anderes als einfach x, etwa (3x-2)^5, brauchst du die Substitutionsregel. Steht die Variable im Exponenten, wie bei 2^x, brauchst du die Exponentialregel \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C.
Häufige Fehler
- Durch den alten Exponenten teilen. \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C, nicht \frac{x^4}{3} + C.
- Die Regel auf Produkte anwenden. \int x(x+1)\,dx ist nicht \frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right). Multipliziere zuerst zu x^2 + x aus.
- Die Regel auf \frac{1}{x} anwenden. \int x^{-1}\,dx ist \ln\lvert x\rvert + C, nicht \frac{x^0}{0}.
- Das +C vergessen. Ein unbestimmtes Integral ist eine ganze Schar von Funktionen.
- Die Potenz eines Binoms wie eine Potenz von x behandeln. \int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C. Leitet man dieses Ergebnis ab, erhält man einen zusätzlichen Faktor 2.
Den Gesamtüberblick über Stammfunktionen, einschließlich der Regeln für Winkel- und Exponentialfunktionen, gibt der ausführliche Leitfaden zu Stammfunktionen.
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Die umgekehrte Potenzregel
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