Intégrales impropres : convergence, intégrales de Riemann, exemples

Un domaine qui s'étend à l'infini peut-il avoir une aire finie ? Étonnamment, souvent oui. Le domaine sous y = \frac{1}{x^2} à droite de x = 1 ne finit jamais, et pourtant son aire vaut exactement 1. Les intégrales impropres (ou généralisées) sont l'outil de l'analyse pour mesurer de telles aires, et on les retrouve partout, des probabilités au critère de l'intégrale pour les séries.

Qu'est-ce qu'une intégrale impropre ?

Une intégrale définie ordinaire \int_a^b f(x)\,dx demande un intervalle fini et une fonction qui y reste finie. Une intégrale impropre enfreint l'une de ces règles :

• Type 1 : une borne d'intégration infinie, comme \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.
• Type 2 : une discontinuité infinie, où l'intégrande explose quelque part dans [a, b], comme \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx.

Dans les deux cas, la solution est la même : on remplace l'endroit problématique par une variable, on calcule une intégrale ordinaire, et on passe à la limite.

Si la limite est un nombre fini, l'intégrale converge vers ce nombre. Si la limite est infinie ou n'existe pas, l'intégrale diverge.

Type 1 : bornes d'intégration infinies

Exemple corrigé 1 : 1/x² de 1 à l'infini

Calculez \int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx.

Étape 1. L'écrire comme une limite.

Étape 2. Intégrer sur [1, b].

Étape 3. Passer à la limite. Quand b\to\infty, \frac1b\to 0 :

L'intégrale converge vers 1.

Exemple corrigé 2 : 1/x de 1 à l'infini

Calculez \int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx.

L'intégrale diverge. L'aire sous \frac1x croît sans limite, simplement très lentement.

La figure montre à quel point ces deux cas sont proches. Les deux courbes passent par (1, 1) et tendent toutes deux vers zéro. La différence est la vitesse : \frac{1}{x^2} diminue assez vite pour que l'aire totale se stabilise, et \frac1x non.

Exemple corrigé 3 : une queue exponentielle

Calculez \int_0^\infty e^{-x}\,dx.

L'intégrale converge vers 1. La décroissance exponentielle est si rapide que ses queues convergent presque toujours.

Exemple corrigé 4 : deux bornes infinies

Calculez \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1+x^2}\,dx.

Quand les deux bornes sont infinies, découpez l'intégrale en un point pratique (0 est le plus simple) et calculez chaque moitié séparément :

Les deux moitiés convergent, donc l'intégrale entière converge vers \pi. Si l'une des moitiés divergeait, l'intégrale entière divergerait.

Diverger sans exploser

Une intégrale peut diverger même si l'aire ne devient jamais infinie. Considérons \int_0^\infty \cos x\,dx :

La valeur de \sin b oscille indéfiniment entre -1 et 1, donc la limite n'existe pas et l'intégrale diverge. La convergence exige que la limite se fixe sur un seul nombre fini.

Type 2 : discontinuités infinies

Quand l'intégrande explose en une borne, on approche cette borne par une limite depuis l'intérieur de l'intervalle.

Exemple corrigé 5 : 1/√x de 0 à 1

Calculez \int_0^1 \frac{1}{\sqrt x}\,dx. L'intégrande est infinie en x = 0.

L'intégrale converge vers 2, alors même que la courbe file vers l'infini sur le bord gauche.

Exemple corrigé 6 : ln x de 0 à 1

Calculez \int_0^1 \ln x\,dx. Ici \ln x \to -\infty quand x \to 0^+.

Étape 1. Écrire la limite. \displaystyle\lim_{t\to0^+}\int_t^1 \ln x\,dx.

Étape 2. Trouver une primitive. L'intégration par parties donne \int \ln x\,dx = x\ln x - x.

Étape 3. Évaluer sur [t, 1].

Étape 4. Passer à la limite. Quand t\to0^+, t \to 0, et t\ln t \to 0 aussi (écrivez-le \frac{\ln t}{1/t} et utilisez la règle de L'Hôpital). Donc

La réponse est négative car \ln x < 0 sur (0, 1) : le domaine est sous l'axe des x.

Exemple corrigé 7 : le piège de la discontinuité cachée

Calculez \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx.

Si vous ignorez le problème en x = 0 et remplacez à l'aveugle, vous obtenez \left[-\frac1x\right]_{-1}^1 = -1 - 1 = -2. Ce ne peut pas être juste : l'intégrande est positive partout, donc l'aire ne peut pas être négative.

La bonne méthode consiste à découper à la discontinuité :

La moitié droite vaut \lim_{t\to0^+}\left[-\frac1x\right]_t^1 = \lim_{t\to0^+}\left(-1 + \frac1t\right) = \infty. Comme une moitié diverge, l'intégrale entière diverge.

Astuce : avant de calculer toute intégrale définie, parcourez l'intervalle à la recherche de points où un dénominateur s'annule, où un logarithme atteint zéro ou où une tangente atteint \frac{\pi}{2}. Le théorème fondamental de l'analyse ne s'applique que si la fonction est continue sur tout l'intervalle.

La règle des intégrales de Riemann

Les exemples précédents sont des cas particuliers d'une règle qui mérite d'être retenue. Pour p > 0 :

Remarquez que p = 1 (la fonction \frac1x) diverge sur les deux intervalles. Elle se trouve exactement à la frontière.

Le critère de comparaison pour les intégrales impropres

Beaucoup d'intégrandes n'ont pas de primitive simple. On peut quand même décider de la convergence en les comparant à quelque chose de connu, en général une intégrale de Riemann ou une exponentielle. Supposons que 0 \le g(x) \le f(x) pour x \ge a :

• Si \int_a^\infty f(x)\,dx converge, alors la plus petite, \int_a^\infty g(x)\,dx, converge aussi.
• Si \int_a^\infty g(x)\,dx diverge, alors la plus grande, \int_a^\infty f(x)\,dx, diverge aussi.

Retenez : « plus petit que fini, c'est fini ; plus grand qu'infini, c'est infini ».

Exemple corrigé 8 : comparer pour montrer la convergence

L'intégrale \int_1^\infty \frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx converge-t-elle ?

Comme \cos x \le 1, le numérateur vaut au plus 3, donc 0 < \frac{2+\cos x}{x^2} \le \frac{3}{x^2}. Et \int_1^\infty \frac{3}{x^2}\,dx = 3 converge (une intégrale de Riemann avec p = 2). Par comparaison, l'intégrale de départ converge.

Exemple corrigé 9 : comparer pour montrer la divergence

L'intégrale \int_2^\infty \frac{1}{\ln x}\,dx diverge-t-elle ?

Pour x \ge 2, \ln x < x, donc \frac{1}{\ln x} > \frac{1}{x}. Comme \int_2^\infty \frac1x\,dx diverge, l'intégrale plus grande diverge aussi.

La même idée, appliquée à des sommes plutôt qu'à des aires, donne les critères de comparaison pour les séries. Voir les critères de convergence pour comprendre le lien.

Pourquoi les intégrales impropres comptent

Les intégrales impropres ne sont pas une simple curiosité de manuel. Elles apparaissent partout où une grandeur s'accumule sur un domaine illimité :

• Probabilités. Une densité de probabilité doit avoir une aire totale égale à 1 sur toute la droite réelle. La célèbre courbe en cloche repose sur \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.
• Physique. Le travail nécessaire pour éloigner une fusée infiniment loin de la Terre est une intégrale de \frac{1}{r^2} jusqu'à l'infini, et elle converge. C'est cette valeur finie qui rend possible la vitesse de libération.
• Séries. Le critère de l'intégrale décide si une somme comme \sum \frac{1}{n^2} converge en examinant l'intégrale impropre correspondante.

Les erreurs fréquentes sur les intégrales impropres

1. Manquer une discontinuité intérieure. Comme le montre l'exemple 7, on obtient alors une réponse finie pour une intégrale divergente.
2. Traiter \infty comme un nombre. Écrivez la limite. Des expressions comme -\frac{1}{\infty} sont au mieux un raccourci, et elles cachent des erreurs.
3. Découper \int_{-\infty}^\infty avec une seule limite. \lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b f(x)\,dx n'est pas la définition. Les fonctions impaires comme x donnent 0 de cette façon, mais \int_{-\infty}^\infty x\,dx diverge.
4. Comparer dans le mauvais sens. Être plus petite qu'une intégrale divergente ne prouve rien, pas plus qu'être plus grande qu'une intégrale convergente.
5. Oublier que la règle de Riemann s'inverse sur [0, 1]. \int_0^1 \frac{dx}{x^2} diverge alors que \int_1^\infty \frac{dx}{x^2} converge.

Entraînez-vous à repérer la convergence

Les intégrales impropres deviennent intuitives une fois qu'on en a vu suffisamment : vous commencez à sentir que \frac{1}{x^2} se stabilise et que \frac1x non, avant même d'écrire la moindre limite. La leçon interactive ci-dessous vous guide à travers chaque type avec un retour immédiat, pour que vous développiez cet instinct en même temps que la technique.