Critères de convergence des séries : exercices corrigés
12 exercices corrigés sur la convergence des séries : terme général, Riemann, géométrique, comparaison, intégrale, d'Alembert, Cauchy et séries alternées.
Suites et séries Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Exercices
- 12, avec réponses et solutions détaillées
- Niveau
- Calculus 2 et AP Calculus BC, Unit 10
- Prérequis
- Les limites à l'infini et la formule de la série géométrique
- Idée clé
- Reconnaître la forme du terme général et choisir le critère adapté à cette forme
- S''entraîner avec de nouvelles valeurs
- Leçon sur le choix du critère
Sur cette page
Ces exercices sur les critères de convergence vous proposent des séries variées : il faut décider si chacune converge ou diverge, et justifier. Le vrai savoir-faire est de choisir le bon critère, alors essayez de le nommer avant de lire la solution. Les réponses sont données d'abord, puis viennent les solutions détaillées.
Un guide rapide des critères :
| Forme du terme général | Critère à essayer |
|---|---|
| Le terme ne tend pas vers 0 | Critère du terme général : diverge |
| ar^n | Géométrique : converge si \lvert r\rvert < 1 |
| \frac{1}{n^p} | Série de Riemann d'exposant p : converge si p > 1 |
| Fractions rationnelles ou racines | Comparaison ou équivalents |
| Factorielles ou c^n | Critère de d'Alembert |
| (\dots)^n | Critère de Cauchy (racine n-ième) |
| (-1)^n b_n | Critère des séries alternées |
Exercices
Déterminez si chaque série converge ou diverge.
Séries de référence
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n + 1}
- \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n (calculez aussi la somme)
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
Comparaison et comparaison série-intégrale
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n - 1}
- \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
Critères de d'Alembert et de Cauchy
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n
Séries alternées
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2}
Réponses
| Exercice | Réponse | Critère |
|---|---|---|
| 1 | Converge | Série de Riemann d'exposant p, p = 3 |
| 2 | Diverge | Terme général, terme \to 1 |
| 3 | Converge vers 3 | Géométrique, r = \frac{2}{3} |
| 4 | Diverge | Série de Riemann d'exposant p, p = \frac{1}{2} |
| 5 | Converge | Comparaison avec \frac{1}{n^2} |
| 6 | Diverge | Comparaison par limite avec \frac{1}{n} |
| 7 | Diverge | Comparaison série-intégrale |
| 8 | Converge | D'Alembert, L = \frac{1}{2} |
| 9 | Diverge | D'Alembert, L = \infty |
| 10 | Converge | Cauchy, L = \frac{1}{2} |
| 11 | Semi-convergente | Critère des séries alternées |
| 12 | Converge absolument | \sum\frac{1}{n^2} converge |
Solutions détaillées
1. C'est une série de Riemann d'exposant p, ici p = 3 > 1, donc elle converge.
2. Le terme général tend vers 1, pas vers 0 :
D'après le critère du terme général, la série diverge (divergence grossière).
3. Série géométrique de premier terme 1 et de raison \frac{2}{3}. Comme |r| < 1 :
4. \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1/2}} est une série de Riemann d'exposant p, ici p = \frac{1}{2} \le 1, donc elle diverge.
5. Pour tout n, n^2 + 1 > n^2, donc \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}. La série plus grande \sum\frac{1}{n^2} converge, donc la plus petite aussi.
6. Comparez avec \frac{1}{n} :
La limite est finie et strictement positive, et \sum\frac{1}{n} diverge, donc cette série diverge aussi.
7. La fonction \frac{1}{x\ln x} est positive et décroissante pour x \ge 2. Avec u = \ln x :
L'intégrale diverge, donc la série diverge.
8. Critère de d'Alembert :
Elle converge. En fait, sa somme vaut 2.
9. Critère de d'Alembert :
Elle diverge. Les factorielles croissent plus vite que n'importe quelle exponentielle.
10. Critère de Cauchy :
Elle converge.
11. Les termes \frac{1}{n} sont positifs, décroissants et tendent vers 0, donc le critère des séries alternées montre qu'elle converge. Mais \sum\frac{1}{n} diverge, donc la série est semi-convergente. Sa somme vaut \ln 2.
12. Les valeurs absolues forment \sum\frac{1}{n^2}, une série de Riemann (p-série) convergente. La série converge donc absolument.
Erreurs fréquentes sur ces exercices
- Utiliser le critère du terme général pour prouver la convergence. Un terme général qui tend vers 0 ne prouve pas la convergence. Dans l'exercice 7, le terme tend vers 0 et la série diverge quand même.
- Comparer dans le mauvais sens. Être plus petite qu'une série divergente, ou plus grande qu'une série convergente, ne prouve rien.
- Appliquer d'Alembert à une série de Riemann (p-série). Pour \frac{1}{n^p}, la limite du rapport vaut toujours 1, ce qui ne permet pas de conclure.
- Oublier de vérifier la convergence absolue. Pour une série alternée, la réponse complète précise si la convergence est absolue ou seulement simple (semi-convergence).
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Pour des séries en nombre illimité avec correction immédiate, essayez la leçon sur le choix du critère, la leçon sur les critères de d'Alembert et de Cauchy et la série d'exercices sur les séries. Pour comprendre le raisonnement derrière chaque critère, lisez le guide des critères de convergence. Utilisez ensuite ces critères pour trouver des intervalles de convergence dans les exercices sur les séries entières.
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