Exercícios de testes de convergência de séries, com respostas

Estes exercícios de testes de convergência trazem uma mistura de séries e pedem que você decida se cada uma converge ou diverge, e por quê. Escolher o teste certo é a verdadeira habilidade, então tente dizer qual teste usar antes de ler a resolução. As respostas vêm primeiro, depois as resoluções completas.

Um guia rápido dos testes:

Exercícios

Decida se cada série converge ou diverge.

Séries de referência

1. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}
2. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n + 1}
3. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n (encontre também a soma)
4. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}

Testes da comparação e da integral

5. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}
6. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n - 1}
7. \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}

Testes da razão e da raiz

8. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}
9. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}
10. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n

Séries alternadas

11. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
12. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2}

Respostas

Resolução passo a passo

1. É uma série p com p = 3 > 1, então converge.

2. Os termos tendem a 1, não a 0:

Pelo teste do termo geral, a série diverge.

3. Geométrica com primeiro termo 1 e razão \frac{2}{3}. Como |r| < 1:

4. \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1/2}} é uma série p com p = \frac{1}{2} \le 1, então diverge.

5. Para todo n, n^2 + 1 > n^2, então \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}. A série maior \sum\frac{1}{n^2} converge, então a menor também converge.

6. Compare com \frac{1}{n}:

O limite é positivo e finito, e \sum\frac{1}{n} diverge, então esta série também diverge.

7. A função \frac{1}{x\ln x} é positiva e decrescente para x \ge 2. Com u = \ln x:

A integral diverge, então a série diverge.

8. Teste da razão:

Converge. Na verdade, a soma é 2.

9. Teste da razão:

Diverge. Fatoriais crescem mais rápido do que qualquer exponencial.

10. Teste da raiz:

Converge.

11. Os termos \frac{1}{n} são positivos, decrescentes e tendem a 0, então o teste da série alternada garante a convergência. Mas \sum\frac{1}{n} diverge, então a convergência é condicional. A soma é \ln 2.

12. Os valores absolutos formam \sum\frac{1}{n^2}, uma série p convergente. Logo, a série converge absolutamente.

Erros comuns nestes exercícios

• Usar o teste do termo geral para provar convergência. Termos tendendo a 0 não mostram convergência. O exercício 7 tem termos que tendem a 0 e mesmo assim diverge.
• Comparar na direção errada. Ser menor que uma série divergente, ou maior que uma convergente, não prova nada.
• Usar o teste da razão em séries p. Para \frac{1}{n^p} o limite da razão é sempre 1, o que não dá resposta.
• Esquecer de verificar a convergência absoluta. Em séries alternadas, a resposta completa diz se a convergência é absoluta ou condicional.

Continue praticando

Para séries ilimitadas com correção imediata, experimente a lição sobre como escolher o teste, a lição dos testes da razão e da raiz e a lista de prática de séries. Para entender o raciocínio por trás de cada teste, leia o guia de testes de convergência. Depois use esses testes para encontrar intervalos nos exercícios de séries de potências.