Règle de L'Hôpital : exercices corrigés avec réponses

Ces exercices sur la règle de L'Hôpital couvrent les sept formes indéterminées : \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0\cdot\infty, \infty - \infty, 0^0, 1^\infty et \infty^0. Le dernier exercice est un piège où la règle ne s'applique pas. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

La règle :

Pour l'énoncé complet et la raison pour laquelle elle fonctionne, consultez la page sur la règle de L'Hôpital.

Exercices

Formes 0/0

1. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}
2. \displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}
3. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}

Formes ∞/∞

4. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}
5. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}

Produits et différences

6. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x
7. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)
8. \displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)

Formes exponentielles

9. \displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x
10. \displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}
11. \displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x

Vérifiez avant de commencer

12. \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}

Réponses

Solutions détaillées

1. La substitution donne \frac{0}{0}. Dérivez le numérateur et le dénominateur :

2. La substitution donne \frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0} :

3. Chaque application donne encore \frac{0}{0}, donc appliquez la règle trois fois :

4. C'est une forme \frac{\infty}{\infty}. Deux applications :

L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x (croissances comparées).

5. Encore \frac{\infty}{\infty} :

Toute puissance positive de x l'emporte sur le logarithme.

6. C'est une forme 0\cdot(-\infty). Faites passer x au dénominateur sous la forme \frac{1}{x} pour obtenir \frac{-\infty}{\infty} :

7. C'est une forme \infty\cdot 0. Réécrivez sous la forme \frac{\sin(1/x)}{1/x}, qui est \frac{0}{0}. Posez t = \frac{1}{x}, donc t\to 0^+ :

8. C'est une forme \infty - \infty. Réduisez en une seule fraction :

C'est \frac{0}{0}. Dérivez : c'est encore \frac{0}{0}, donc dérivez à nouveau :

9. C'est une forme 0^0. Notez L la limite et prenez le logarithme. L'exercice 6 a déjà donné cette limite :

10. C'est une forme \infty^0. Prenez le logarithme :

11. C'est une forme 1^\infty. Prenez le logarithme, puis écrivez le produit comme une fraction de forme \frac{0}{0} :

Dérivez le numérateur, \frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right), et le dénominateur, -\frac{1}{x^2} :

12. Remplacez d'abord : \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3. C'est un nombre réel, donc la limite vaut 3 et c'est terminé. Utiliser L'Hôpital ici donnerait \frac{2x}{1}\to 0, ce qui est faux, car la règle ne fonctionne que sur les formes indéterminées.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Utiliser la règle du quotient. L'Hôpital signifie \frac{f'}{g'}, pas \left(\frac{f}{g}\right)'. Dérivez le numérateur et le dénominateur séparément.
• Sauter la vérification. L'exercice 12 montre ce qui se passe : la règle donne une réponse fausse quand la forme n'est pas indéterminée.
• Oublier de revenir du logarithme. Dans les exercices 9 à 11, vous trouvez d'abord \ln L. La réponse de l'exercice 11 est e^3, pas 3.
• Appliquer la règle directement à un produit. Dans l'exercice 6, il faut réécrire x\ln x sous forme de fraction avant de dériver.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles limites à chaque fois et une correction immédiate, essayez la leçon sur la règle de L'Hôpital. Pour plus d'exemples corrigés et le raisonnement derrière chaque forme indéterminée, lisez le guide de la règle de L'Hôpital. Pour revoir d'abord les méthodes algébriques, revenez aux exercices sur le calcul de limites.