Continuité : exercices corrigés avec réponses et solutions

Ces exercices sur la continuité couvrent la définition en trois points, les fonctions définies par morceaux, la recherche d'une constante qui rend une fonction continue, la classification des discontinuités, les domaines de continuité et le théorème des valeurs intermédiaires. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions détaillées.

Une fonction f est continue en x = a quand les trois conditions sont réunies :

Pour approfondir l'idée, lisez le guide de la continuité.

Exercices

Est-elle continue ?

1. f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} est-elle continue en x = 1 ? Sinon, comment la prolonger ?
2. f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 2 \\ 3x - 1 & x \ge 2 \end{cases} est-elle continue en x = 2 ?
3. f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + 4 & x > 1 \end{cases} est-elle continue en x = 1 ?
4. f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} est-elle continue en x = 0 ?

La rendre continue

5. Trouvez k pour que f(x) = \begin{cases} kx + 3 & x < 2 \\ x^2 - k & x \ge 2 \end{cases} soit continue partout.
6. Trouvez a et b pour que f(x) = \begin{cases} 3x + a & x < 1 \\ x^2 + bx & 1 \le x \le 2 \\ 10 & x > 2 \end{cases} soit continue partout.

Types de discontinuité et domaines

7. Trouvez et classez les discontinuités de f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}.
8. Où f(x) = \dfrac{\ln(x - 4)}{x - 6} est-elle continue ?
9. Où f(x) = \sqrt{9 - x^2} est-elle continue ?

Théorème des valeurs intermédiaires

10. Montrez que x^3 + x - 1 = 0 admet une solution entre 0 et 1.
11. Montrez que \cos x = x admet une solution dans \left(0, \frac{\pi}{2}\right).
12. f(x) = \frac{1}{x} vérifie f(-1) = -1 et f(1) = 1. Le TVI affirme-t-il que f s'annule sur [-1, 1] ?

Réponses

Solutions détaillées

1. En x = 1, le dénominateur vaut 0, donc f(1) n'est pas définie et f n'y est pas continue. La limite, elle, existe :

C'est une discontinuité effaçable, un trou en (1, 2). Poser f(1) = 2 bouche le trou et rend f continue (on parle de prolongement par continuité).

2. Vérifiez les trois conditions :

• Limite à gauche : 2^2 + 1 = 5.
• Limite à droite : 3(2) - 1 = 5.
• Valeur : f(2) = 3(2) - 1 = 5.

Les trois coïncident, donc f est continue en x = 2.

3. La limite à gauche vaut 2(1) + 1 = 3 et la limite à droite 1^2 + 4 = 5. Les limites à gauche et à droite diffèrent, donc la limite n'existe pas. C'est une discontinuité de saut.

4. La valeur est f(0) = 1, et la limite remarquable donne \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Elles coïncident, donc f est continue en 0.

5. Chaque morceau est un polynôme, donc seul x = 2 est à vérifier. Égalez la limite à gauche et la limite à droite :

6. Il y a deux points de raccordement, donc deux équations.

En x = 2 : le morceau du milieu donne 4 + 2b et le morceau de droite donne 10, donc b = 3.

En x = 1 : le morceau de gauche donne 3 + a et le morceau du milieu donne 1 + b = 4, donc a = 1.

7. Factorisez le dénominateur : x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), donc f n'est pas définie en x = 2 ni en x = 3.

En x = 2, la limite vaut \frac{1}{2 - 3} = -1, c'est donc une discontinuité effaçable. En x = 3, la forme simplifiée a encore un dénominateur nul, donc f\to\pm\infty : c'est une discontinuité infinie avec une asymptote verticale.

8. Le logarithme exige x - 4 > 0, donc x > 4. Le dénominateur exige x \ne 6. En combinant, f est continue sur (4, 6)\cup(6, \infty).

9. La racine exige 9 - x^2 \ge 0, donc -3 \le x \le 3. La fonction est continue sur l'intervalle fermé [-3, 3], avec une continuité à droite ou à gauche aux bornes.

10. Posons f(x) = x^3 + x - 1. C'est un polynôme, donc elle est continue sur [0, 1]. Comme f(0) = -1 et f(1) = 1, la valeur 0 est comprise entre les deux. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe c dans (0, 1) tel que f(c) = 0.

11. Réécrivez sous la forme g(x) = \cos x - x = 0. La fonction g est continue partout. Vérifiez les bornes :

Le signe change, donc d'après le TVI il existe c dans \left(0, \frac{\pi}{2}\right) tel que \cos c = c.

12. Non. Le TVI exige que f soit continue sur tout l'intervalle fermé, et \frac{1}{x} n'est pas définie en 0. Le théorème ne dit rien ici, et en fait \frac{1}{x} ne vaut jamais 0.

Erreurs fréquentes sur ces exercices

• Ne vérifier que la limite. Dans l'exercice 1, la limite existe, mais la fonction reste discontinue car f(1) n'existe pas.
• Utiliser le mauvais morceau au point de raccordement. Dans l'exercice 2, f(2) vient du morceau avec x \ge 2. Lisez attentivement les inégalités.
• Ne vérifier qu'un seul point de raccordement. L'exercice 6 a deux points de raccordement, et chacun donne sa propre équation.
• Appliquer le TVI sans continuité. L'exercice 12 montre qu'un changement de signe seul ne prouve rien.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des valeurs fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouvelles fonctions et une correction immédiate, essayez la leçon sur la continuité et la leçon sur le théorème des valeurs intermédiaires. La continuité est aussi la première hypothèse du théorème des accroissements finis, que vous pouvez travailler ensuite.