Dérivée d'une fonction réciproque : formule et exemples
La dérivée de la réciproque f⁻¹ en x vaut 1/f'(f⁻¹(x)). La formule, pourquoi les pentes sont inverses, des exemples corrigés, arcsin et ln.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Une fonction f bijective et dérivable, aux points où f'(f^{-1}(x)) \ne 0
- Forme ponctuelle
- Si f(a) = b, alors (f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}
- Notation de Leibniz
- \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}
- Interprétation graphique
- La symétrie par rapport à y = x échange les variations verticale et horizontale, donc les pentes deviennent inverses
- Permet d'obtenir
- Les dérivées de \ln x, \sqrt{x}, \arcsin x et \arctan x
Sur cette page
La dérivée de la fonction réciproque s'obtient à partir de la dérivée de la fonction de départ. Si f a pour pente m au point (a, b), alors f^{-1} a pour pente \frac{1}{m} au point symétrique (b, a). Il n'est pas nécessaire de connaître une formule de la réciproque pour l'utiliser.
La formule de la dérivée de la réciproque
Soit f une fonction bijective et dérivable, de réciproque f^{-1}. Si f'(f^{-1}(x)) \ne 0, alors f^{-1} est dérivable en x et
La forme ponctuelle est en général plus pratique. Si f(a) = b et f'(a) \ne 0 :
En notation de Leibniz, avec y = f(x) et x = f^{-1}(y), cela s'écrit \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}.
Pourquoi la formule fonctionne
On part de l'identité f(f^{-1}(x)) = x et on dérive les deux membres avec la règle de dérivation en chaîne :
En divisant par f'(f^{-1}(x)), on obtient la formule. Géométriquement, la symétrie d'une courbe par rapport à y = x échange x et y, donc échange les variations verticale et horizontale : chaque pente est remplacée par son inverse.
Exemples corrigés
Exemple 1 : sans formule pour la réciproque. Soit f(x) = x^3 + x + 1, strictement croissante et donc bijective sur son image. Calculer (f^{-1})'(3).
Étape 1. On résout f(a) = 3 : a^3 + a + 1 = 3 donne a = 1.
Étape 2. On dérive : f'(x) = 3x^2 + 1, donc f'(1) = 4.
Étape 3. On prend l'inverse : (f^{-1})'(3) = \frac{1}{4}.
Exemple 2 : la dérivée de \ln x. Ici f(x) = e^x, f'(x) = e^x et f^{-1}(x) = \ln x :
Exemple 3 : la dérivée de \arcsin x. Ici f(x) = \sin x sur \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], donc f'(x) = \cos x :
La dernière étape utilise \cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta}, qui est positif sur cet intervalle. Voir arcsinus.
Exemple 4 : la dérivée de \arctan x. Avec f(x) = \tan x et f'(x) = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x :
Les dérivées que donne la formule
| Fonction f | Réciproque f^{-1} | Dérivée de la réciproque |
|---|---|---|
| x^2 pour x \ge 0 | \sqrt{x} | \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| e^x | \ln x | \frac{1}{x} |
| \sin x | \arcsin x | \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \cos x | \arccos x | -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} |
| \tan x | \arctan x | \frac{1}{1 + x^2} |
Erreurs fréquentes
- Évaluer f' au mauvais point. (f^{-1})'(b) utilise f'(a) avec f(a) = b, et non f'(b). Dans l'exemple 1, f'(3) = 28 donnerait le résultat faux \frac{1}{28}.
- Confondre f^{-1} et \frac{1}{f}. f^{-1} désigne la fonction réciproque, pas son inverse pour la multiplication. \sin^{-1}x signifie \arcsin x, et non \csc x.
- Ignorer les points où f' = 0. Si f'(a) = 0, la réciproque a une tangente verticale en b et n'y est pas dérivable. Pour f(x) = x^3, la réciproque \sqrt[3]{x} n'est pas dérivable en 0.
On retrouve aussi ce résultat par dérivation implicite : on écrit x = f(y) et on dérive les deux membres. Pour en savoir plus sur \ln x et e^x, lisez le guide sur les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.
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