Dérivation logarithmique : comment dériver x^x et plus encore
La dérivation logarithmique : prendre ln des deux membres, dériver, multiplier par y. Méthode et exemples pour x^x, les exposants variables et les produits.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Les bases variables avec exposants variables comme x^x, et les longs produits ou quotients de puissances
- En mots
- Prendre \ln des deux membres, simplifier avec les propriétés du logarithme, dériver, puis multiplier par y
- Fait clé
- \frac{d}{dx}\ln y = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} par la dérivation en chaîne
- Propriétés du ln utilisées
- \ln(ab) = \ln a + \ln b, \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b, \ln a^k = k \ln a
- Résultat classique
- \frac{d}{dx}\,x^x = x^x(\ln x + 1)
La dérivation logarithmique est une technique pour les fonctions difficiles à dériver directement. On prend le logarithme népérien des deux membres, on utilise les propriétés du logarithme pour transformer produits, quotients et puissances en sommes et en multiples, on dérive, puis on isole \frac{dy}{dx}. C'est la seule méthode standard pour dériver une fonction comme x^x.
La méthode
On part de y = f(x) avec f(x) > 0 :
- Prendre le logarithme népérien des deux membres : \ln y = \ln f(x).
- Simplifier le membre de droite avec les propriétés du logarithme.
- Dériver les deux membres par rapport à x. Le membre de gauche devient \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} par la règle de dérivation en chaîne.
- Multiplier les deux membres par y, puis réinjecter y = f(x).
En une ligne :
Si f peut être négative, utilisez \ln|y| à la place. La dérivée de \ln|y| est toujours \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}, donc la formule finale ne change pas.
Quelle règle pour quelle puissance ?
| Forme | Exemple | Règle | Dérivée |
|---|---|---|---|
| constante puissance constante | 2^3 | Dérivée d'une constante | 0 |
| variable puissance constante | x^3 | Règle de la puissance | 3x^2 |
| constante puissance variable | 3^x | Règle de l'exponentielle | 3^x\ln 3 |
| variable puissance variable | x^x | Dérivation logarithmique | x^x(\ln x + 1) |
Exemples corrigés
Exemple 1 : y = x^x (pour x > 0). On prend le logarithme et on fait descendre l'exposant :
On dérive, avec la règle du produit à droite :
On multiplie par y :
Exemple 2 : y = x^{\sin x} (pour x > 0). Alors \ln y = \sin x \ln x, et
Exemple 3 : un quotient compliqué. Pour y = \frac{(x+1)^3\sqrt{x^2 + 4}}{(2x - 1)^5}, le logarithme sépare tout :
On dérive chaque terme avec la dérivation en chaîne :
Donc
Les règles du quotient et du produit donneraient le même résultat, mais avec beaucoup plus de calculs.
Exemple 4 : démontrer la règle de la puissance. Pour y = x^n avec n réel quelconque et x > 0 : \ln y = n\ln x, donc \frac{y'}{y} = \frac{n}{x} et y' = x^n \cdot \frac{n}{x} = n\,x^{n-1}. C'est ainsi que l'on étend la règle de la puissance à tout exposant réel.
Erreurs fréquentes
- Utiliser la règle de la puissance pour x^x. x \cdot x^{x-1} = x^x est faux. L'exposant n'est pas constant.
- Utiliser la règle de l'exponentielle pour x^x. x^x\ln x est faux aussi. La base n'est pas constante. Remarquez que la bonne réponse x^x\ln x + x^x est la somme de ces deux réponses fausses.
- Oublier de multiplier par y. Dériver \ln y donne \frac{y'}{y}. Isolez y' à la fin.
- Laisser y dans le résultat. Remplacez y par la fonction de départ pour que la dérivée ne dépende que de x.
La méthode repose sur la dérivation implicite et sur la dérivée de \ln x. Pour réviser les dérivées des exponentielles et des logarithmes, lisez le guide sur les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmes.
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