Arc sinus arcsin(x) : courbe, domaine, dérivée et primitive

La fonction arc sinus défait la fonction sinus : \arcsin x est l'angle dont le sinus vaut x. Comme le sinus est périodique, il n'est pas bijectif ; l'arc sinus choisit donc l'unique réponse située dans \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. En analyse, elle compte surtout comme primitive de \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Définition de arcsin x

Ainsi, \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}, car \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} et \frac{\pi}{6} appartient à l'intervalle autorisé. La notation \sin^{-1}x signifie la même chose.

Courbe de y = arcsin x

La courbe est le morceau de y = \sin x sur \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], réfléchi par rapport à la droite y = x.

Valeurs remarquables de l'arc sinus

Propriétés de l'arc sinus

• Domaine de définition [-1, 1], ensemble image \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]. Les valeurs hors de [-1, 1] ne sont pas définies, car aucun angle n'a pour sinus 2.
• Croissante. L'arc sinus est strictement croissant sur tout son domaine de définition.
• Impaire. \arcsin(-x) = -\arcsin x.
• Simplification. \sin(\arcsin x) = x pour tout x de [-1, 1], mais \arcsin(\sin x) = x seulement pour x dans \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right].
• Lien avec l'arc cosinus. \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}. Voir l'arc cosinus.

Dérivée de arcsin x

Pourquoi. Posons y = \arcsin x, donc \sin y = x. La dérivation implicite donne \cos y \cdot y' = 1, donc y' = \frac{1}{\cos y}. Comme y appartient à \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \cos y \ge 0, et \cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}. C'est un cas particulier de la dérivée d'une fonction réciproque.

En x = \pm 1, le dénominateur s'annule, ce qui explique les tangentes verticales aux extrémités de la courbe.

Intégrales faisant intervenir l'arc sinus

La formule de la dérivée, lue à l'envers, donne l'intégrale que vous utiliserez le plus :

Une primitive de l'arc sinus lui-même s'obtient par intégration par parties avec u = \arcsin x, dv = dx :

Exemples corrigés

Exemple 1 : dérivation en chaîne. Dérivons f(x) = \arcsin(3x) :

Exemple 2 : une intégrale définie. \int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Exemple 3 : avec a. \int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C.

Exemple 4 : composition. Simplifions \cos(\arcsin x). Si \theta = \arcsin x, alors \sin\theta = x et \cos\theta \ge 0, donc \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}.

Erreurs fréquentes

1. Lire \sin^{-1}x comme \frac{1}{\sin x}. L'inverse est \csc x, présentée dans sécante, cosécante et cotangente.
2. Donner un angle hors de l'ensemble image. \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}, et non \frac{7\pi}{6} ou \frac{11\pi}{6}.
3. Utiliser une valeur telle que |x| > 1. \arcsin 2 n'existe pas en tant que nombre réel.
4. Oublier le facteur de la dérivation en chaîne. \frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}, et non \frac{1}{\sqrt{1-x^4}}.

Liens entre l'arc sinus et d'autres notions

L'arc sinus est au cœur du changement de variable x = a\sin\theta du changement de variable trigonométrique, utilisé pour les intégrales contenant \sqrt{a^2 - x^2}. Ses fonctions sœurs sont l'arc cosinus et l'arc tangente, et leurs trois dérivées s'obtiennent de la même façon dans le guide de la dérivation implicite.