Dérivée d'une fonction composée : formule et exemples
La dérivée de f(g(x)) est f'(g(x))·g'(x). La règle de dérivation en chaîne dans les deux notations, un tableau des formes usuelles, des exemples et les erreurs.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Aux composées, une fonction à l'intérieur d'une autre
- En mots
- Dérivée de l'extérieur (intérieur inchangé) fois la dérivée de l'intérieur
- Notation de Leibniz
- \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
- La repérer
- Tout ce qui n'est pas simplement x à l'intérieur d'une puissance, d'une racine, d'une fonction trigonométrique, d'une exponentielle ou d'un logarithme
- Version intégrale
- Le changement de variable
Sur cette page
La règle de dérivation en chaîne permet de dériver une composée, c'est-à-dire une fonction à l'intérieur d'une autre. On prend la dérivée de la fonction extérieure, on laisse la fonction intérieure telle quelle, et on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Presque toutes les dérivées non triviales l'utilisent.
La formule de dérivation en chaîne
Si g est dérivable en x et f est dérivable en g(x), alors
En notation de Leibniz, avec y = f(u) et u = g(x) :
Pensez à des vitesses qui se multiplient : si y varie 3 fois plus vite que u, et u 2 fois plus vite que x, alors y varie 3 \cdot 2 = 6 fois plus vite que x.
Formes usuelles
Ici, u est une fonction dérivable quelconque de x et u' est sa dérivée.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| u^n | n\,u^{n-1}\,u' |
| \sqrt{u} | \frac{u'}{2\sqrt{u}} |
| e^u | e^u\,u' |
| \ln u | \frac{u'}{u} |
| \sin u | \cos u \cdot u' |
| \cos u | -\sin u \cdot u' |
| \tan u | \sec^2 u \cdot u' |
Exemples corrigés
Exemple 1 : la puissance d'un polynôme. Extérieur : u^5. Intérieur : u = x^2 + 1, u' = 2x :
Exemple 2 : trigonométrie. Extérieur : \sin u. Intérieur : u = 3x :
Exemple 3 : exponentielle. Extérieur : e^u. Intérieur : u = x^2 :
Exemple 4 : une racine carrée. On écrit \sqrt{4x - 1} = (4x - 1)^{1/2} :
Exemple 5 : logarithme. Extérieur : \ln u. Intérieur : u = \cos x :
Exemple 6 : trois couches. \sin^2(5x) signifie [\sin(5x)]^2. On épluche de l'extérieur : le carré, puis le sinus, puis 5x :
Comment repérer une composée
Demandez-vous : « Pour évaluer cette expression en un nombre, quelle opération ferais-je en dernier ? » Cette dernière opération est la fonction extérieure. Tout ce sur quoi elle agit est la fonction intérieure.
- (3x + 1)^4 : la dernière étape est l'élévation à la puissance 4. L'intérieur est 3x + 1.
- e^{\sin x} : la dernière étape est e^{(\ )}. L'intérieur est \sin x.
- \sin x^2 signifie en général \sin(x^2) : l'intérieur est x^2. Mais \sin^2 x signifie (\sin x)^2 : l'intérieur est \sin x.
Si la fonction intérieure est simplement x, sa dérivée vaut 1 et la dérivation en chaîne ne change rien.
Erreurs fréquentes
- Oublier la dérivée de l'intérieur. \frac{d}{dx}\,(3x + 1)^4 = 4(3x + 1)^3 \cdot 3, et non 4(3x + 1)^3. C'est l'erreur de dérivation la plus fréquente de toutes.
- Modifier l'intérieur. La dérivée extérieure s'évalue en la fonction intérieure d'origine : \frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x, et non \cos(2x).
- La confondre avec la règle du produit. \sin(x^2) est une composée, alors que x^2\sin x est un produit. Voir la règle du produit.
- S'arrêter après une seule couche. Dans e^{\sin(2x)}, il y a trois couches, et la réponse 2\cos(2x)\,e^{\sin(2x)} demande les trois dérivées.
La dérivation en chaîne est aussi le moteur de la dérivation implicite, des taux de variation liés et du changement de variable. Pour une explication plus détaillée avec davantage d'exercices, lisez le guide complet sur la dérivation en chaîne.
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