Intégration par parties : formule ∫u dv = uv − ∫v du et exemples
La formule d'intégration par parties ∫u dv = uv − ∫v du, le choix de u avec LIATE, le cas des intégrales définies et des exemples : ln x, x·eˣ, x·cos x.
Règles d'intégration Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Réciproque de
- La règle du produit pour les dérivées
- Quand l''utiliser
- L'intégrande est le produit de deux fonctions de types différents, comme x\,e^x ou x\cos x
- Choix de u
- LIATE : Logarithme, Inverse trigonométrique, Algébrique (polynôme), Trigonométrique, Exponentielle
- Version définie
- \int_a^b u\,dv = \big[uv\big]_a^b - \int_a^b v\,du
- Objectif
- La nouvelle intégrale \int v\,du doit être plus simple que l'intégrale de départ
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L'intégration par parties est la règle du produit des dérivées, réarrangée pour intégrer des produits. Elle remplace une intégrale par une autre, et lorsque u et dv sont bien choisis, la nouvelle intégrale est plus facile que celle de départ.
La formule d'intégration par parties
Pour des fonctions dérivables u et v :
En notation fonctionnelle, avec u = f(x) et dv = g'(x)\,dx :
Pour une intégrale définie, on évalue le terme uv entre les bornes :
D'où vient la formule
La règle du produit donne (uv)' = u'v + uv'. On intègre les deux membres et on réarrange :
Choisir u avec LIATE
Choisissez pour u le facteur qui se simplifie quand on le dérive, et pour dv un facteur que l'on sait intégrer. LIATE classe les choix possibles pour u :
| Lettre | Type | Exemple |
|---|---|---|
| L | Logarithme | \ln x |
| I | Inverse trigonométrique | \arctan x |
| A | Algébrique (polynôme) | x^2, 3x + 1 |
| T | Trigonométrique | \sin x, \cos x |
| E | Exponentielle | e^x, 2^x |
Prenez u dans le premier type présent. LIATE est un repère, pas une loi, mais il fonctionne pour presque tous les exercices de manuel.
Exemples corrigés
Exemple 1 : \int x\,e^x\,dx. Algébrique passe avant exponentielle, donc u = x et dv = e^x\,dx. Alors du = dx et v = e^x :
Exemple 2 : \int x\cos x\,dx. Prenons u = x, dv = \cos x\,dx, donc du = dx et v = \sin x :
Exemple 3 : \int \ln x\,dx. Il n'y a qu'un seul facteur, donc on prend u = \ln x et dv = dx. Alors du = \frac{1}{x}\,dx et v = x :
Exemple 4 : une intégrale définie. En reprenant l'exemple 1 :
Exemple 5 : deux intégrations par parties. Pour \int x^2 e^x\,dx, une première intégration avec u = x^2 laisse \int 2x\,e^x\,dx, qui en demande une seconde. Le résultat est
Exemple 6 : l'intégrale réapparaît. Pour \int e^x \sin x\,dx, deux intégrations par parties font réapparaître l'intégrale de départ I avec un signe moins. En résolvant I = e^x\sin x - e^x\cos x - I, on obtient
Vérifier son résultat
Dérivez avec la règle du produit : vous devez retrouver l'intégrande. Pour l'exemple 2 :
La vérification est rapide et détecte la plupart des erreurs de signe. Une bonne habitude : après avoir choisi u et dv, écrivez u, du, v et dv dans un petit tableau à deux lignes et deux colonnes avant de les reporter dans la formule, pour ne rien perdre.
Erreurs fréquentes
- Choisir u à l'envers. Avec u = e^x et dv = x\,dx, la nouvelle intégrale \int \frac{x^2}{2}e^x\,dx est plus difficile que celle de départ.
- Oublier le signe moins. La formule est uv - \int v\,du, avec un moins. Quand on intègre deux fois par parties, suivez les signes avec soin.
- Oublier d'évaluer uv entre les bornes. Dans une intégrale définie, uv doit lui aussi être évalué de a à b.
- Ajouter +C à v. On peut prendre n'importe quelle primitive pour v. Un seul +C tout à la fin suffit.
Quand un produit est en réalité une composée multipliée par la dérivée de la fonction intérieure, le changement de variable est plus rapide. Pour la méthode du tableau, plus d'entraînement avec LIATE et des exemples plus difficiles, lisez le guide complet de l'intégration par parties.
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