Dérivée d'un produit (uv)' = u'v + uv' : formule et exemples
La dérivée d'un produit f·g est f'g + fg'. La formule, des exemples corrigés, la version à trois facteurs, une démonstration courte et les erreurs fréquentes.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Un produit de deux fonctions dérivables, qui dépendent toutes deux de x
- En mots
- Dérivée de la première fois la seconde, plus la première fois la dérivée de la seconde
- Trois facteurs
- (fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
- Inutile quand
- L'un des facteurs est une constante (utilisez le produit par une constante)
- Version intégrale
- L'intégration par parties
Sur cette page
La règle du produit indique comment dériver deux fonctions multipliées entre elles. La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. On dérive plutôt un facteur à la fois et on additionne les résultats.
La formule de la règle du produit
Si f et g sont dérivables, alors
Une façon courante de la dire : dérivée de la première fois la seconde, plus la première fois la dérivée de la seconde. En abrégé, (fg)' = f'g + fg'.
Pour trois facteurs, le schéma continue, avec un seul facteur dérivé par terme :
Exemples corrigés
Exemple 1 : une puissance fois une fonction trigonométrique. Posons f = x^2 et g = \sin x, donc f' = 2x et g' = \cos x :
Exemple 2 : une puissance fois une exponentielle. Avec f = x et g = e^x :
Exemple 3 : un logarithme. Avec f = x et g = \ln x :
Exemple 4 : deux polynômes, vérifié en développant. Pour (3x + 1)(x^2 - 2) :
En développant d'abord, on obtient 3x^3 + x^2 - 6x - 2, dont la dérivée est aussi 9x^2 + 2x - 6.
Exemple 5 : trois facteurs. Pour x\,e^x\sin x :
Quand utiliser la règle du produit
Utilisez-la quand deux facteurs (ou plus) dépendent tous de x :
| Expression | Règle du produit ? |
|---|---|
| x^3\cos x | Oui |
| e^x \ln x | Oui |
| 5\sin x | Non, 5 est une constante : produit par une constante |
| \sin(x^2) | Non, c'est une composée : dérivation en chaîne |
| \frac{x^2}{x + 1} | Utilisez la règle du quotient, ou la règle du produit sur x^2(x+1)^{-1} |
Beaucoup de dérivées demandent à la fois la règle du produit et la dérivation en chaîne. Pour x^2 e^{3x}, la règle du produit sépare les facteurs et la dérivation en chaîne traite e^{3x} : le résultat est 2x e^{3x} + 3x^2 e^{3x}.
Pourquoi la règle du produit fonctionne
Partez de la définition de la dérivée par une limite et ajoutez puis retranchez f(x+h)g(x) au numérateur :
Quand h \to 0, f(x+h) \to f(x) car une fonction dérivable est continue, et les deux taux d'accroissement deviennent g'(x) et f'(x). Il reste f(x)g'(x) + g(x)f'(x).
Imaginez un rectangle de côtés f et g. Quand les deux côtés augmentent un peu, l'aire gagne une bande de taille f'g le long d'un côté et une bande de taille fg' le long de l'autre.
Erreurs fréquentes
- Multiplier les dérivées. \frac{d}{dx}\,x^2\sin x \ne 2x\cos x. Il faut deux termes.
- Dériver les deux facteurs dans le même terme. Chaque terme contient exactement un facteur dérivé.
- L'utiliser pour un produit par une constante. Cela marche, mais fait perdre du temps. \frac{d}{dx}\,4x^3 vaut simplement 12x^2.
- Oublier la dérivation en chaîne dans un facteur. Dans x\sin(2x), la dérivée de \sin(2x) est 2\cos(2x), donc la réponse est \sin(2x) + 2x\cos(2x).
En intégrant la règle du produit, on obtient l'intégration par parties. Pour davantage d'exemples et une comparaison avec la règle du quotient, lisez le guide complet sur les règles du produit et du quotient.
Entraîne-toi maintenant
La règle du produit
Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.
S'entraîner sur cette leçon