Primitive de x^n : formule, exemples et cas n = −1
La primitive de x^n est x^(n+1)/(n+1) + C pour n ≠ −1. Formule, exemples avec racines et puissances négatives, et l'exception ln|x|.
Règles d'intégration Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Toute puissance de x d'exposant constant n \ne -1
- En mots
- Ajouter un à l'exposant, puis diviser par le nouvel exposant
- Exception
- \int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
- Vérification
- Dériver le résultat avec la règle de la puissance : on doit retrouver x^n
- Règles liées
- Règle de la puissance, linéarité de l'intégrale, changement de variable
Sur cette page
La primitive d'une puissance donne une primitive de n'importe quelle puissance de x. C'est la règle de la puissance appliquée à l'envers : au lieu de diminuer l'exposant et de multiplier, on augmente l'exposant et on divise.
La formule de la primitive d'une puissance
Pour tout exposant constant n \ne -1 :
Deux gestes : ajouter un à l'exposant, puis diviser par le nouvel exposant. Le +C est là parce que toute fonction admet une infinité de primitives qui diffèrent d'une constante.
On peut toujours vérifier le résultat en le dérivant :
Exemples
| Fonction à intégrer | Réécriture | Primitive |
|---|---|---|
| x^4 | x^4 | \frac{x^5}{5} + C |
| x | x^1 | \frac{x^2}{2} + C |
| 5 | 5x^0 | 5x + C |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + C |
| \frac{1}{x^3} | x^{-3} | -\frac{1}{2x^2} + C |
| \frac{1}{\sqrt{x}} | x^{-1/2} | 2\sqrt{x} + C |
| \frac{1}{x} | x^{-1} | \ln\lvert x\rvert + C (exception) |
Exemple : un polynôme. On combine la formule avec la linéarité et on intègre terme à terme :
Exemple : une puissance négative. On réécrit \frac{4}{x^5} sous la forme 4x^{-5} :
L'exposant passe de -5 à -4. Ajouter un à un nombre négatif le rend moins négatif.
Exemple : une puissance fractionnaire. Pour \int \sqrt[3]{x}\,dx, on écrit x^{1/3}. Le nouvel exposant est \frac{4}{3}, et diviser par \frac{4}{3} revient à multiplier par \frac{3}{4} :
L'exception n = −1
Pour n = -1, la formule demande de diviser par zéro : elle ne s'applique plus. Une primitive de x^{-1} est le logarithme népérien :
La valeur absolue rend le résultat valable aussi pour x négatif. C'est pourquoi \frac{1}{x} a sa propre ligne dans tout tableau de primitives.
Quand utiliser la primitive d'une puissance
Utilisez-la lorsque la fonction à intégrer est une somme de termes de la forme kx^n, éventuellement après réécriture :
- les polynômes, terme par terme ;
- les racines, après conversion en exposants fractionnaires ;
- les termes avec x au dénominateur, après conversion en exposants négatifs ;
- les produits ou quotients que l'on peut d'abord développer ou séparer, comme \frac{x^3 + 1}{x} = x^2 + x^{-1}.
Si la base n'est pas simplement x, comme dans (3x-2)^5, il faut un changement de variable. Si la variable est dans l'exposant, comme dans 2^x, il faut la formule exponentielle \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C.
Erreurs fréquentes
- Diviser par l'ancien exposant. \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C, et non \frac{x^4}{3} + C.
- L'appliquer à un produit. \int x(x+1)\,dx n'est pas \frac{x^2}{2}\cdot\left(\frac{x^2}{2}+x\right). Développez d'abord en x^2 + x.
- L'utiliser pour \frac{1}{x}. \int x^{-1}\,dx vaut \ln\lvert x\rvert + C, et non \frac{x^0}{0}.
- Oublier le +C. Une intégrale indéfinie désigne toute une famille de fonctions.
- Traiter la puissance d'un binôme comme une puissance de x. \int (2x+1)^3\,dx \ne \frac{(2x+1)^4}{4} + C. En dérivant ce résultat, on obtient un facteur 2 en trop.
Pour une vue d'ensemble des primitives, y compris les formules trigonométriques et exponentielles, lisez le guide complet sur les primitives.
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