Dérivée de x^n, la règle de la puissance : formule et exemples
La règle de la puissance : la dérivée de x^n est n·x^(n−1). Formule, exemples avec exposants négatifs et fractionnaires, démonstration et erreurs fréquentes.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Toute puissance de x avec un exposant constant n (positif, négatif, fractionnaire ou décimal)
- En mots
- On descend l'exposant devant, puis on retranche un à l'exposant
- Ne s'applique pas à
- Aux exponentielles comme 2^x ou e^x, où la variable est dans l'exposant
- Version intégrale
- \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C pour n \ne -1
- Règles liées
- Produit par une constante, dérivée d'une somme, dérivation en chaîne
Sur cette page
La règle de la puissance est le premier raccourci de dérivation que la plupart des élèves apprennent, et celui qu'ils utilisent le plus. Elle dérive n'importe quelle puissance de x en une seule étape, sans passer par les limites.
La formule de la règle de la puissance
Pour tout exposant constant n :
Deux gestes : descendre l'exposant comme coefficient, puis retrancher un à l'exposant.
Exemples
| Fonction | Réécriture | Dérivée |
|---|---|---|
| x^5 | x^5 | 5x^4 |
| x | x^1 | 1 |
| 7 | 7x^0 | 0 |
| \frac{1}{x^2} | x^{-2} | -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} |
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} |
| \sqrt[3]{x^2} | x^{2/3} | \frac{2}{3}x^{-1/3} |
Exemple : un polynôme. On combine la règle de la puissance avec la dérivée d'une somme et la règle du produit par une constante :
Exemple : une puissance négative. Pour dériver f(x) = \frac{3}{x^4}, on la réécrit sous la forme 3x^{-4} :
Remarquez que l'exposant passe de -4 à -5, et non à -3. Retrancher un à un nombre négatif le rend encore plus négatif.
Quand utiliser la règle de la puissance
Utilisez-la dès que vous voyez une variable élevée à une puissance constante, après une éventuelle réécriture. En pratique, cela concerne :
- les polynômes, terme par terme ;
- les racines, après les avoir converties en exposants fractionnaires ;
- les termes avec x au dénominateur, après les avoir convertis en exposants négatifs ;
- la couche extérieure d'une fonction comme (x^2+1)^5, avec la dérivation en chaîne.
Si l'exposant contient x, comme dans x^x ou 3^x, la règle de la puissance n'est pas le bon outil. Il faut alors les règles des exponentielles ou la dérivation logarithmique.
La règle à l'envers : l'intégration
L'intégration défait la dérivation, donc la règle de la puissance a une image miroir. Pour intégrer x^n, on ajoute un à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant :
Par exemple, \int x^3\,dx = \frac{x^4}{4} + C. La seule exception est n = -1, pour laquelle \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C. Voir la primitive d'une puissance.
Pourquoi la règle de la puissance fonctionne
Pour un exposant entier, on développe (x+h)^n avec la formule du binôme dans la définition de la dérivée par une limite :
Quand h \to 0, tous les termes qui contiennent un h disparaissent, et il reste nx^{n-1}. La règle s'étend à tous les exposants réels grâce à la dérivation logarithmique.
Erreurs fréquentes
- Retrancher un avant de descendre l'exposant. \frac{d}{dx}x^4 vaut 4x^3, et non 3x^3.
- L'utiliser sur des exponentielles. \frac{d}{dx}2^x \ne x \cdot 2^{x-1}. La variable est dans l'exposant, il faut donc la dérivée de l'exponentielle.
- Ne pas réécrire d'abord. On ne peut pas appliquer la règle de la puissance à \frac{1}{x^2} avant de l'écrire x^{-2}.
- Oublier la dérivation en chaîne. Pour (3x+1)^4, la règle de la puissance ne donne qu'une partie de la réponse. Il faut aussi multiplier par la dérivée de l'intérieur, 3. Voir la règle de dérivation en chaîne.
Pour une explication plus détaillée avec davantage d'exercices, lisez le guide complet sur la règle de la puissance.
Entraîne-toi maintenant
La règle de la puissance
Résous de vrais problèmes sur ce thème avec une correction immédiate, des indices et une solution pas à pas pour chaque réponse. Gratuit, sans inscription pour commencer.
S'entraîner sur cette leçon