Dérivée d'une somme et d'une différence : formule et exemples
La dérivée d'une somme ou d'une différence se calcule terme à terme. La formule, des exemples corrigés, une démonstration et les pièges à éviter.
Règles de dérivation Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- S'applique à
- Toute somme ou différence de fonctions dérivables, quel que soit le nombre de termes
- En mots
- On dérive terme à terme en gardant les signes plus et moins
- Combinée avec
- Le produit par une constante, ce qui donne (af + bg)' = af' + bg'
- Ne s'applique pas à
- Aux produits et aux quotients, qui demandent la règle du produit et la règle du quotient
- Version intégrale
- \int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx
Sur cette page
La dérivée d'une somme ou d'une différence se calcule terme à terme. La dérivée de f + g est f' + g', et la dérivée de f - g est f' - g'. C'est la règle qui rend les polynômes faciles à dériver.
La formule
Si f et g sont dérivables, alors
La règle s'étend à un nombre quelconque de termes. Combinée à la règle du produit par une constante, elle dit que la dérivation est linéaire :
Exemples
Exemple 1 : un polynôme. On applique la règle de la puissance à chaque terme et la dérivée d'une constante au terme constant :
Exemple 2 : des fonctions de types différents. Chaque terme suit sa propre règle :
Exemple 3 : une différence avec un logarithme.
Exemple 4 : séparer d'abord une fraction. Quand le dénominateur est un seul terme, on divise chaque terme du numérateur par ce dénominateur, puis on dérive la somme :
On évite ainsi complètement la règle du quotient.
Pourquoi la règle fonctionne
Dans la définition de la dérivée par une limite, on regroupe le taux d'accroissement en deux taux d'accroissement :
Quand h \to 0, la limite d'une somme (voir les opérations sur les limites) transforme le membre de droite en f'(x) + g'(x). Pour la différence, le raisonnement est le même avec un signe moins.
Ce que la règle ne couvre pas
Cette règle est si naturelle que les élèves supposent parfois que les produits et les quotients se comportent de la même façon. Ce n'est pas le cas :
| Expression | Bonne règle | Bonne dérivée |
|---|---|---|
| x^2 + \sin x | Dérivée d'une somme | 2x + \cos x |
| x^2 \sin x | Règle du produit | 2x\sin x + x^2\cos x |
| \frac{x^2}{\sin x} | Règle du quotient | \frac{2x\sin x - x^2\cos x}{\sin^2 x} |
| \sin(x^2) | Dérivation en chaîne | 2x\cos(x^2) |
Vérifiez que la dérivée de x^2 \sin x n'est pas 2x\cos x : par exemple en x = \frac{\pi}{2}, la bonne dérivée vaut \pi, alors que 2x\cos x donne 0.
Erreurs fréquentes
- Perdre un signe moins. Dans \frac{d}{dx}(x^3 - \cos x), la dérivée de \cos x est -\sin x, donc la réponse est 3x^2 + \sin x. Surveillez les deux signes.
- Étendre la règle aux produits. (fg)' \ne f'g'. Utilisez la règle du produit.
- Séparer une fraction dont le dénominateur est une somme. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. On ne peut séparer que si le dénominateur est un seul terme.
Pour une série complète d'exemples sur les polynômes et la règle de la puissance, lisez le guide complet sur la règle de la puissance.
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