Théorème de Green-Ostrogradski (flux-divergence) : énoncé et exemples

Le théorème de flux-divergence, appelé aussi théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de Gauss, affirme que le flux total d'un champ de vecteurs sortant d'une surface fermée est égal à la divergence totale du champ à l'intérieur. Ce qui s'échappe à travers l'enveloppe doit être produit par des sources situées à l'intérieur.

Énoncé du théorème de flux-divergence

Soient

1. E un solide de l'espace dont le bord S est une surface fermée, lisse par morceaux,
2. S orientée par la normale sortante \mathbf{n}, et
3. \mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle un champ ayant des dérivées partielles continues sur un ouvert contenant E.

Alors

Ici, \iint_S \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS est le flux sortant.

Ce que signifie le théorème de flux-divergence

Voyez \mathbf{F} comme la vitesse d'un fluide. La divergence en un point est le débit de fluide créé en ce point par unité de volume : positive pour une source, négative pour un puits. En additionnant toute la production à l'intérieur du solide, on obtient la quantité totale qui sort par sa surface. Comme pour la formule de Green-Riemann, les flux à travers toutes les parois internes entre de minuscules cubes se compensent, et il ne reste que la frontière extérieure.

Pourquoi chaque hypothèse compte

Régularité à l'intérieur. Le champ en inverse du carré \mathbf{F} = \frac{\mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}, où \mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle, vérifie \nabla\cdot\mathbf{F} = 0 partout sauf à l'origine, où il n'est pas défini. Pourtant, sur la sphère unité, \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = 1, donc le flux est égal à l'aire de la sphère, 4\pi, et non à 0. Le théorème ne s'applique pas car E contient le point singulier. C'est exactement le théorème de Gauss en électrostatique : le flux mesure la charge ponctuelle située à l'intérieur.

Une surface fermée. Le flux à travers une surface ouverte, comme une demi-sphère, n'est pas déterminé par la seule divergence. Il faut d'abord refermer la surface.

Orientation vers l'extérieur. Utiliser les normales rentrantes change le signe du flux.

Exemples corrigés

Exemple 1 : \mathbf{F} = \langle x, y, z \rangle à travers une sphère de rayon R.

Étape 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 1 + 1 + 1 = 3.

Étape 2. \iiint_E 3\,dV = 3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3 = 4\pi R^3.

Vérification directe. Sur la sphère, \mathbf{n} = \frac{\mathbf{r}}{R}, donc \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{R} = R. Le flux vaut R fois l'aire 4\pi R^2, soit 4\pi R^3.

Exemple 2 : \mathbf{F} = \langle x^3, y^3, z^3 \rangle à travers la sphère unité.

\nabla\cdot\mathbf{F} = 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 3\rho^2 en coordonnées sphériques. Alors

Calculer ce flux comme une intégrale de surface demanderait bien plus de travail.

Exemple 3 : un cube à six faces. Calculer le flux sortant de \mathbf{F} = \langle x^2, yz, z \rangle à travers la surface du cube unité [0, 1]^3.

Étape 1. \nabla\cdot\mathbf{F} = 2x + z + 1.

Étape 2. On intègre sur le cube, terme par terme (l'intégrale par rapport à chacune des autres variables vaut 1) :

Une seule intégrale triple remplace six intégrales de surface distinctes.

Erreurs fréquentes

1. L'appliquer à une surface ouverte. Le théorème exige la frontière fermée d'un solide.
2. Oublier une singularité. Vérifiez que \mathbf{F} est défini et régulier en tout point intérieur, en particulier à l'origine.
3. Confondre divergence et rotationnel. La divergence est un scalaire, P_x + Q_y + R_z ; le rotationnel est un vecteur et relève du théorème de Stokes.

Théorèmes et guides associés

Le théorème de flux-divergence, le théorème de Stokes et la formule de Green-Riemann sont toutes des variantes d'une même idée : intégrer une dérivée sur un domaine revient à intégrer le champ d'origine sur le bord, exactement comme le théorème fondamental de l'analyse. Pour la partie intégrale triple, commencez par les intégrales doubles, et pour les opérations sur les vecteurs, consultez vecteurs, produit scalaire et produit vectoriel.