Formule de Taylor-Lagrange : reste et majoration de l'erreur
La formule de Taylor avec reste de Lagrange : à quel point un polynôme de Taylor approche f(x). Énoncé, majoration de l'erreur, exemples avec e et sin x.
Théorèmes sur les séries et plusieurs variables Mis à jour Lecture : 4 min
En bref
- Hypothèses
- f est n + 1 fois dérivable sur un intervalle ouvert I contenant a, et x appartient à I
- Polynôme de Taylor
- P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k
- Reste (forme de Lagrange)
- R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1} pour un certain c compris entre a et x
- Majoration de l'erreur
- |R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1} où |f^{(n+1)}| \le M
- Cas n = 0
- Le théorème des accroissements finis
- Cours
- Analyse 2
Sur cette page
La formule de Taylor affirme qu'une fonction régulière est égale à son polynôme de Taylor plus un terme d'erreur, et elle donne à ce terme d'erreur une forme exacte. On passe ainsi de « le polynôme de Taylor est une bonne approximation » à un nombre garanti de décimales exactes.
Énoncé de la formule de Taylor
On suppose que f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n + 1 sur un intervalle ouvert I contenant a. Soit
le polynôme de Taylor de degré n de f en a. Alors pour tout x de I, il existe un nombre c compris entre a et x tel que
C'est la forme de Lagrange du reste, d'où le nom de formule de Taylor-Lagrange. Lorsque a = 0, le polynôme est appelé polynôme de Maclaurin.
Inégalité de Taylor-Lagrange (la majoration de l'erreur)
On ne connaît presque jamais c, on majore donc la dérivée. Si |f^{(n+1)}(t)| \le M pour tout t compris entre a et x, alors
La majoration devient vite petite, car (n+1)! croît plus vite que n'importe quelle puissance.
Ce que signifie la formule de Taylor
Le reste ressemble exactement au terme suivant de la série de Taylor, à ceci près que la dérivée est évaluée en un point c au lieu de a. Pour n = 0, l'énoncé s'écrit f(x) = f(a) + f'(c)(x - a), qui n'est autre que le théorème des accroissements finis. La formule de Taylor en est la version d'ordre supérieur.
Pourquoi les hypothèses comptent
Suffisamment de dérivées. La formule du reste utilise f^{(n+1)}. Pour f(x) = |x| en a = 0, f'(0) n'existe pas, il n'y a donc même pas de polynôme de Taylor de degré 1.
Un reste qui ne diminue pas. La formule de Taylor est toujours vraie lorsque ses hypothèses le sont, mais elle ne promet pas que l'erreur tend vers 0. La fonction f(x) = e^{-1/x^2} (avec f(0) = 0) a toutes ses dérivées égales à 0 en x = 0, donc tous ses polynômes de Taylor en 0 sont le polynôme nul. Le reste R_n(x) = f(x) ne diminue jamais, et la série de Taylor converge vers 0, pas vers f. Une fonction est égale à sa série de Taylor seulement lorsque R_n(x) \to 0.
Exemples corrigés
Exemple 1 : approcher e par P_4 et majorer l'erreur.
Étape 1. Pour f(x) = e^x en a = 0, toutes les dérivées valent e^x et sont égales à 1 en 0. Donc
Étape 2. Sur [0, 1], f^{(5)}(t) = e^t \le e < 3, on prend donc M = 3.
Étape 3. |R_4(1)| \le \frac{3}{5!}\cdot 1^5 = \frac{3}{120} = 0.025.
L'erreur réelle vaut e - 2.70833 \approx 0.00995, largement en dessous de la majoration.
Exemple 2 : \sin(0.1) avec une grande précision.
Le polynôme de Maclaurin P_3(x) = x - \frac{x^3}{6} donne \sin(0.1) \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} \approx 0.0998333. Comme le coefficient de x^4 du sinus est 0, P_4 = P_3, on peut donc utiliser R_4. Toutes les dérivées de \sin sont majorées par M = 1 :
Donc 0.0998333 est exact à au moins six décimales.
Exemple 3 : combien de termes pour e^{0.5} à 0.001 près ?
Sur [0, 0.5], e^t \le e^{0.5} < 2, donc |R_n(0.5)| \le \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!}.
| n | Majoration \frac{2\,(0.5)^{n+1}}{(n+1)!} |
|---|---|
| 2 | \frac{2(0.125)}{6} \approx 0.042 |
| 3 | \frac{2(0.0625)}{24} \approx 0.0052 |
| 4 | \frac{2(0.03125)}{120} \approx 0.00052 |
La majoration passe pour la première fois sous 0.001 pour n = 4, donc P_4(0.5) est suffisamment précis.
Erreurs fréquentes
- Utiliser (n)! au lieu de (n+1)!. Le reste après un polynôme de degré n fait intervenir la dérivée d'ordre (n+1) et (n+1)!.
- Majorer la dérivée seulement en a. M doit majorer |f^{(n+1)}| sur tout l'intervalle entre a et x.
- Supposer que la série de Taylor est toujours égale à f. Ce n'est le cas que lorsque le reste tend vers 0.
Théorèmes et guides liés
La formule de Taylor généralise le théorème des accroissements finis. Pour construire les polynômes et les séries eux-mêmes, consultez séries de Taylor et séries entières. À plusieurs variables, le développement de Taylor à l'ordre deux fait intervenir les dérivées partielles croisées, que le théorème de Schwarz permet de calculer dans n'importe quel ordre.
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