Théorème fondamental de l'analyse (partie 2) : calculer une intégrale

La deuxième partie du théorème fondamental de l'analyse, souvent appelée formule de Newton-Leibniz, affirme qu'une intégrale définie se calcule en trouvant une primitive puis en faisant la différence de ses valeurs aux bornes. Elle remplace la limite de sommes de Riemann par une seule ligne de calcul.

Énoncé de la partie 2 du théorème fondamental

Supposons que

1. f est continue sur [a, b], et que
2. F est une primitive quelconque de f sur [a, b], c'est-à-dire F'(x) = f(x).

Alors

Le membre de droite s'écrit souvent \big[F(x)\big]_a^b ou F(x)\Big|_a^b.

Ce que signifie la partie 2

L'intégrale définie additionne les f(x)\,dx sur tout l'intervalle. Si f est le taux de variation de F, additionner toutes les petites variations F'(x)\,dx donne la variation totale de F, c'est-à-dire F(b) - F(a). C'est le théorème de la variation totale : on intègre la vitesse pour obtenir le déplacement, on intègre un débit pour obtenir le volume total.

Pourquoi la continuité compte

Considérons \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx. Une primitive de x^{-2} est -\frac{1}{x}, et appliquer la formule à l'aveugle donne

Or \frac{1}{x^2} > 0 partout, donc son intégrale ne peut pas être négative. L'erreur : \frac{1}{x^2} n'est pas continue sur [-1, 1], car elle tend vers l'infini en x = 0, et la partie 2 du théorème ne s'applique donc pas. Traitée correctement comme une intégrale impropre, elle diverge vers \infty. Vérifiez toujours l'absence de discontinuité dans l'intervalle avant de remplacer par les bornes.

Exemples corrigés

Exemple 1 : un polynôme. Calculer \int_1^3 (2x + 1)\,dx.

Étape 1. Une primitive est F(x) = x^2 + x.

Étape 2. F(3) = 9 + 3 = 12 et F(1) = 1 + 1 = 2.

Étape 3. \int_1^3 (2x + 1)\,dx = 12 - 2 = 10.

Vérification géométrique : le domaine est un trapèze de côtés parallèles f(1) = 3 et f(3) = 7 et de largeur 2, donc son aire vaut \frac{3 + 7}{2}\cdot 2 = 10.

Exemple 2 : une intégrale trigonométrique. Calculer \int_0^\pi \sin x\,dx.

C'est l'aire sous une arche de la sinusoïde, représentée sur le graphique ci-dessus.

Exemple 3 : un logarithme. Calculer \int_1^e \frac{1}{x}\,dx.

\frac{1}{x} est continue sur [1, e], et une primitive est \ln x. Donc

Exemple 4 : variation totale. Une cuve se remplit avec un débit de r(t) = 3t^2 litres par minute. Entre t = 1 et t = 2 minutes, le volume augmente de

Erreurs fréquentes

1. Soustraire dans le mauvais ordre. C'est F(b) - F(a), la borne supérieure en premier.
2. Oublier les parenthèses. Avec F(x) = x^2 - 3x, écrivez F(b) - F(a) = (b^2 - 3b) - (a^2 - 3a). Sans parenthèses, les signes s'inversent.
3. Ignorer les discontinuités. Comme on l'a vu plus haut, une intégrande qui tend vers l'infini dans [a, b] relève des techniques d'intégrales impropres.
4. Confondre aire et aire algébrique. La partie 2 donne l'aire algébrique : les parties situées sous l'axe des x comptent négativement. Pour l'aire totale, on coupe là où f change de signe, comme pour l'aire entre deux courbes.

Le lien entre la partie 2 et la partie 1

La partie 1 du théorème fondamental affirme que G(x) = \int_a^x f(t)\,dt est une primitive de f. Toute autre primitive diffère de G d'une constante (conséquence du théorème des accroissements finis), donc F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt. Voilà toute la démonstration de la partie 2.

Pour trouver des primitives, consultez les guides sur les primitives et le changement de variable. Pour les deux parties du théorème avec davantage d'exemples, lisez le guide du théorème fondamental de l'analyse.