Formule de Green-Riemann : énoncé, orientation et exemples corrigés

La formule de Green-Riemann (ou théorème de Green) relie une intégrale curviligne le long d'une courbe fermée du plan à une intégrale double sur le domaine qu'elle délimite. Elle affirme que la circulation totale le long du bord est égale à la somme de toutes les petites circulations à l'intérieur.

Énoncé de la formule de Green-Riemann

Soient

1. C une courbe fermée simple, lisse par morceaux et orientée positivement (sens trigonométrique) dans le plan,
2. D le domaine délimité par C, et
3. P(x, y) et Q(x, y) des fonctions ayant des dérivées partielles continues sur un ouvert contenant D.

Alors

Sous forme vectorielle, avec \mathbf{F} = \langle P, Q \rangle, le membre de gauche est la circulation \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} et l'intégrande de droite est le rotationnel scalaire Q_x - P_y.

Ce que signifie la formule de Green-Riemann

Découpez D en minuscules carrés et additionnez la circulation de \mathbf{F} le long de chacun d'eux. Chaque arête intérieure est parcourue par deux carrés voisins en sens opposés, donc ces contributions se compensent. Seul le bord extérieur subsiste. Par ailleurs, la circulation le long d'un minuscule carré vaut environ (Q_x - P_y) fois son aire. En faisant la somme des deux façons, on obtient la formule de Green-Riemann.

Pourquoi chaque hypothèse compte

L'orientation. Parcourir C dans le sens horaire change le signe de l'intégrale curviligne, alors que l'intégrale double ne change pas. Vérifiez toujours le sens de parcours.

La continuité partout à l'intérieur. Le champ tourbillon

vérifie Q_x - P_y = 0 en tout point sauf à l'origine, où il n'est pas défini. Le long du cercle unité x = \cos t, y = \sin t, l'intégrale curviligne vaut \int_0^{2\pi} (\sin^2 t + \cos^2 t)\,dt = 2\pi, et non 0. La formule de Green-Riemann ne s'applique pas, car l'origine, située dans D, est un point où P et Q ne sont même pas définies.

Une courbe fermée. Pour une courbe qui ne se referme pas, il n'y a pas de domaine délimité, et la formule ne dit rien.

Exemples corrigés

Exemple 1 : calculer \oint_C xy\,dx + x^2\,dy le long du bord du domaine représenté sur le graphique.

Étape 1. P = xy et Q = x^2, donc Q_x - P_y = 2x - x = x.

Étape 2. Le domaine est défini par x^2 \le y \le x pour 0 \le x \le 1 :

Vérification directe. Le long de y = x^2 (x = t, 0 \to 1), l'intégrande vaut t^3\,dt + t^2(2t\,dt) = 3t^3\,dt, ce qui contribue pour \frac{3}{4}. Le long de y = x, au retour de (1, 1) vers (0, 0), on obtient 2t^2\,dt avec t allant de 1 à 0, ce qui contribue pour -\frac{2}{3}. Le total vaut \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{1}{12}. Même résultat, mais plus de travail.

Exemple 2 : aire d'une ellipse. On choisit P = -\frac{y}{2} et Q = \frac{x}{2}, de sorte que Q_x - P_y = 1 et que l'intégrale double soit l'aire :

Pour l'ellipse x = a\cos t, y = b\sin t, 0 \le t \le 2\pi : x\,dy - y\,dx = (ab\cos^2 t + ab\sin^2 t)\,dt = ab\,dt. Donc A = \frac{1}{2}\cdot 2\pi ab = \pi ab.

Exemple 3 : un champ compliqué, une réponse simple. Calculer \oint_C (x^2 - y)\,dx + (x + y^3)\,dy le long du cercle unité, dans le sens trigonométrique. Ici Q_x - P_y = 1 - (-1) = 2, donc l'intégrale vaut 2 \cdot \text{aire} = 2\pi, soit deux fois l'aire du disque.

Erreurs fréquentes

1. Inverser l'ordre dans l'intégrande. C'est Q_x - P_y, et non P_y - Q_x ou P_x - Q_y.
2. Ignorer l'orientation. Une courbe parcourue dans le sens horaire donne l'opposé de l'intégrale double.
3. L'appliquer malgré une singularité. Vérifiez que P et Q sont régulières sur tout D, et pas seulement sur C.

Théorèmes et guides associés

La formule de Green-Riemann est le cas plan du théorème de Stokes, et sa forme « flux » est la version en dimension 2 du théorème de flux-divergence. Comme Q_x - P_y = 0 pour les champs de gradient d'après le théorème de Schwarz, les champs conservatifs ont une circulation nulle. Pour les intégrales doubles du membre de droite, consultez le guide sur les intégrales doubles.