Linearität des Integrals: Summenregel und Faktorregel
Die Linearität des Integrals: Summen gliedweise integrieren und Konstanten vorziehen. Formeln, Beispiele und typische Fehler bei Produkten und Quotienten.
Integrationsregeln Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Summenregel
- \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Differenzregel
- \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Faktorregel
- \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx für jede Konstante k
- Gilt nicht für
- Produkte und Quotienten: \int f g\,dx \ne \int f\,dx \cdot \int g\,dx
- Gilt für
- Unbestimmte und bestimmte Integrale
Auf dieser Seite
Die Linearitätsregeln besagen, dass die Integration mit Addition und Vervielfachung verträglich ist. Du kannst eine Summe in einzelne Integrale aufteilen und konstante Faktoren vor das Integralzeichen ziehen. Zusammen mit der umgekehrten Potenzregel integrierst du damit jedes Polynom in einer Zeile.
Die Linearitätsregeln
Für integrierbare Funktionen f und g und Konstanten a und b gilt:
Diese eine Aussage enthält drei Regeln:
- Summenregel: \int (f + g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx
- Differenzregel: \int (f - g)\,dx = \int f\,dx - \int g\,dx
- Faktorregel: \int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx
Dieselben Regeln gelten für bestimmte Integrale über demselben Intervall:
Warum die Linearität gilt
Das Ableiten ist linear: \frac{d}{dx}[aF + bG] = aF' + bG'. Ist F' = f und G' = g, dann ist aF + bG eine Stammfunktion von af + bg, und genau das ist die Regel. Bei bestimmten Integralen ist der Grund noch anschaulicher: Eine Riemann-Summe von f + g ist die Summe der Riemann-Summen von f und g, und streckt man einen Graphen um den Faktor k, wird jedes Rechteck und damit die Fläche um k gestreckt.
![Fläche unter y = 2x² verglichen mit der Fläche unter y = x² auf [0, 2]](https://practicecalculus.com/de/regeln/linearitaet-des-integrals/graphs/0.svg)
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Polynom. Aufteilen, Konstanten vorziehen und dann auf jeden Teil die umgekehrte Potenzregel anwenden:
Beispiel 2: verschiedene Funktionstypen. Mit der Linearität kombinierst du Regeln aus verschiedenen Familien:
Beispiel 3: zuerst einen Quotienten aufteilen. Für Integrale gibt es keine Quotientenregel, aber du kannst jeden Summanden durch den Nenner teilen:
Beispiel 4: ein bestimmtes Integral. Mit den bekannten Werten \int_0^1 f(x)\,dx = 4 und \int_0^1 g(x)\,dx = -1:
Was die Linearität nicht leistet
Die Linearität gilt nur für Summen und konstante Vielfache. Die folgenden Gleichungen sind im Allgemeinen alle falsch:
| Verlockend, aber falsch | Warum |
|---|---|
| \int f g\,dx = \int f\,dx \cdot \int g\,dx | Keine Produktregel für Integrale |
| \int \frac{f}{g}\,dx = \frac{\int f\,dx}{\int g\,dx} | Keine Quotientenregel für Integrale |
| \int x\,f(x)\,dx = x\int f(x)\,dx | x ist keine Konstante |
| \int \frac{1}{f(x)}\,dx = \frac{1}{\int f(x)\,dx} | Kehrwerte lassen sich nicht herausziehen |
Ist der Integrand ein Produkt, versuche zuerst auszumultiplizieren und greife dann zur Substitutionsregel oder zur partiellen Integration.
Häufige Fehler
- Die Variable vor das Integral ziehen. Nur Konstanten dürfen nach außen. In \int 3x\sin x\,dx darfst du die 3 vorziehen, nicht das x.
- Ein Produkt Faktor für Faktor integrieren. \int x(x^2+1)\,dx muss zu \int (x^3 + x)\,dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C ausmultipliziert werden.
- Einen Nenner aufteilen. \frac{1}{x + 1} \ne \frac{1}{x} + 1. Einen Bruch darfst du nach den Summanden im Zähler aufteilen, niemals nach denen im Nenner.
- Ein Vorzeichen bei einer Differenz verlieren. Das Minuszeichen gilt für jeden Summanden des zweiten Integrals.
Die Gegenstücke beim Ableiten sind die Faktorregel und die Summenregel. Mehr Übung im Kombinieren dieser Regeln findest du im Leitfaden zu Stammfunktionen.
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