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Técnicas de integración

Ejercicios resueltos de integración por sustitución con soluciones

12 ejercicios de integración por sustitución con respuestas y soluciones paso a paso, de (x²+1)⁵ a ln x / x, despejando x e integrales definidas.

Técnicas de integración Actualizado 4 min de lectura

De un vistazo

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x)
Ejercicios
12, con respuestas y soluciones completas
Nivel
Cálculo 1, Cálculo 2 y AP Calculus AB, unidad 6
Necesitas
Las antiderivadas básicas y la regla de la cadena
Idea principal
Toma como u la función interior, cambia g'(x)\,dx por du e integra en u
Practica con números nuevos
Lección de sustitución
En esta página
  1. Ejercicios
  2. Respuestas
  3. Soluciones paso a paso
  4. Errores comunes en estos ejercicios
  5. Sigue practicando

Estos ejercicios de integración por sustitución (cambio de variable) empiezan con funciones interiores claras y avanzan hacia logaritmos, deshacer el cambio despejando la variable e integrales definidas con límites nuevos. Intenta cada uno primero. Las respuestas van primero para que puedas comprobar rápido, y luego las soluciones completas.

El método:

\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\ du = g'(x)\,dx

Iguala u a la función interior, calcula du, sustituye todo, integra y vuelve a poner x. Si necesitas un repaso, lee la regla de sustitución.

Ejercicios

La derivada está a la vista

  1. \displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx
  2. \displaystyle\int \cos(3x)\,dx
  3. \displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx
  4. \displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx

Logaritmos y trigonometría

  1. \displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx
  2. \displaystyle\int \tan x\,dx
  3. \displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx
  4. \displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx
  5. \displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx

Despejar x

  1. \displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx

Integrales definidas

  1. \displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx
  2. \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx

Respuestas

Ejercicio Respuesta
1 \dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + C
2 \dfrac{\sin(3x)}{3} + C
3 \dfrac{1}{2}e^{x^2} + C
4 \dfrac{2}{9}(x^3 + 1)^{3/2} + C
5 \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C
6 -\ln\lvert\cos x\rvert + C
7 -\dfrac{\cos^5 x}{5} + C
8 \ln(1 + e^x) + C
9 \ln\lvert\ln x\rvert + C
10 \dfrac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \dfrac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C
11 78
12 e - 1

Soluciones paso a paso

1. Sea u = x^2 + 1, así que du = 2x\,dx. Es exactamente lo que hay delante:

\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C

2. Sea u = 3x, así que du = 3\,dx y dx = \frac{1}{3}du:

\frac{1}{3}\int\cos u\,du = \frac{\sin(3x)}{3} + C

3. Sea u = x^2, así que du = 2x\,dx y x\,dx = \frac{1}{2}du:

\frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C

4. Sea u = x^3 + 1, así que du = 3x^2\,dx y x^2\,dx = \frac{1}{3}du:

\frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^3+1)^{3/2} + C

5. Sea u = \ln x, así que du = \frac{1}{x}dx:

\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C

6. Escribe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Sea u = \cos x, así que du = -\sin x\,dx:

-\int\frac{1}{u}\,du = -\ln|\cos x| + C

Es lo mismo que \ln|\sec x| + C. Consulta la integral de tan x.

7. Sea u = \cos x, así que \sin x\,dx = -du:

-\int u^4\,du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C

8. Sea u = 1 + e^x, así que du = e^x\,dx. Como 1 + e^x > 0, no hace falta valor absoluto:

\int\frac{1}{u}\,du = \ln(1 + e^x) + C

9. Sea u = \ln x, así que du = \frac{1}{x}dx. La integral queda \int\frac{1}{u}\,du:

\ln|\ln x| + C

10. Sea u = x + 1, así que du = dx. Todavía queda una x, así que despéjala: x = u - 1. Entonces:

\int (u - 1)u^{1/2}\,du = \int\left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C

Vuelve a poner u = x + 1 para obtener la respuesta de la tabla.

11. Sea u = x^2 + 1, así que x\,dx = \frac{1}{2}du. Cambia los límites: x = 0 da u = 1 y x = 2 da u = 5:

\frac{1}{2}\int_1^5 u^3\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4 - 1^4}{4} = \frac{624}{8} = 78

12. Sea u = \sin x, así que du = \cos x\,dx. Los límites pasan a ser u = 0 y u = 1:

\int_0^1 e^u\,du = e - 1

Errores comunes en estos ejercicios

  • Dejar dx en la integral. Después de sustituir, todo debe estar en función de u y du. Si queda un dx, falta un paso.
  • Dividir entre una variable. En \int e^{x^2}\,dx no hay ningún factor x, así que u = x^2 no funciona. Puedes arreglar constantes, no variables.
  • Mantener los límites antiguos. En el ejercicio 11, integrar u^3 de 0 a 2 da una respuesta incorrecta. Cambia los límites o vuelve primero a x.
  • Olvidar deshacer el cambio. Una respuesta indefinida debe estar en función de x.

Sigue practicando

Para practicar sin límite con números nuevos y corrección al instante, prueba la lección de sustitución y el repaso de Cálculo 2. Para ver más ejemplos resueltos, lee la guía de integración por sustitución. Cuando la sustitución deje de funcionar con productos, sigue con los ejercicios de integración por partes.

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Preguntas frecuentes

¿Cómo se elige u en la integración por sustitución?
Busca una función dentro de otra, como el x^2 + 1 de (x^2+1)^5, cuya derivada también aparezca como factor. Si falta una constante no pasa nada, porque puedes dividir entre ella. Si la elección deja términos en x que no puedes sustituir, prueba otro u.

¿Qué pasa si la derivada de u no coincide por una constante?
Divide entre la constante. En \int x\,e^{x^2}\,dx, du = 2x\,dx, así que x\,dx = \frac{1}{2}du. Así solo se pueden arreglar constantes, no variables que falten.

¿La sustitución es la regla de la cadena al revés?
Sí. La regla de la cadena da \frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x), así que al integrar F'(g(x))g'(x) se recupera F(g(x)) + C. Cualquier resultado obtenido por sustitución se puede comprobar derivando con la regla de la cadena.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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