Función tangente tan(x): gráfica, asíntotas, derivada e integral
La función tangente tan(x) = sen(x)/cos(x): su gráfica, asíntotas verticales, periodo π, derivada sec²(x), integral ln|sec x| + C y ejemplos.
Funciones trigonométricas Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Dominio
- x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Rango
- (-\infty, \infty)
- Derivada
- \sec^2 x
- Integral
- \ln\lvert\sec x\rvert + C
- Periodo
- \pi
- Asíntotas
- x = \frac{\pi}{2} + k\pi, con k entero
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La función tangente es el cociente \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Geométricamente, es la pendiente de la recta que va del origen al punto de ángulo x en la circunferencia unitaria. A diferencia del seno y del coseno, no está acotada y tiene una asíntota vertical cada vez que el coseno vale cero.
Definición de tan x
En un triángulo rectángulo es \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} (cateto opuesto entre cateto adyacente). Como la recta que pasa por el origen con ángulo x tiene pendiente \tan x, la tangente es la forma de convertir un ángulo en una pendiente, y la arcotangente convierte una pendiente de nuevo en un ángulo.
Gráfica de y = tan x
Valores clave de la tangente
| x | -\frac{\pi}{3} | -\frac{\pi}{4} | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \tan x | -\sqrt{3} | -1 | 0 | \frac{\sqrt{3}}{3} | 1 | \sqrt{3} | no definida |
Propiedades de la función tangente
- Dominio. Todos los números reales excepto x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
- Rango. Todos los números reales.
- Periodo. \tan(x + \pi) = \tan x, así que el periodo es \pi, no 2\pi.
- Ceros. \tan x = 0 en x = k\pi, los mismos ceros que el seno.
- Simetría impar. \tan(-x) = -\tan x.
- Siempre creciente. En cada rama la pendiente \sec^2 x es al menos 1, así que la gráfica nunca se aplana.
- Límites laterales. \lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty y \lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty. Consulta límites al infinito para saber más sobre asíntotas.
- Identidad. 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, que se obtiene al dividir \sin^2 x + \cos^2 x = 1 entre \cos^2 x.
Derivada de tan x
Aplica la regla del cociente a \frac{\sin x}{\cos x}:
En x = 0 la pendiente es \sec^2 0 = 1, lo que coincide con que la gráfica cruce el origen con un ángulo de 45 grados.
Integral de tan x
Escribe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} y toma u = \cos x, de modo que du = -\sin x\,dx:
Las dos formas son iguales porque -\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: regla de la cadena. \frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x).
Ejemplo 2: una potencia de la tangente. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x.
Ejemplo 3: una integral con la identidad. Como \tan^2 x = \sec^2 x - 1,
Ejemplo 4: una integral definida. \int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1.
Errores comunes
- Creer que el periodo es 2\pi. La tangente se repite cada \pi, porque \sin y \cos cambian ambos de signo tras media vuelta y los signos se cancelan.
- Escribir \int\tan x\,dx = \sec^2 x. Es al revés: \sec^2 x es la derivada. La integral necesita un logaritmo.
- Quitar el valor absoluto. \ln|\cos x| necesita las barras porque \cos x es negativo en partes del dominio.
- Ignorar las asíntotas. No puedes integrar \tan x a través de x = \frac{\pi}{2} con el Teorema Fundamental; eso sería una integral impropia, y diverge.
Cómo se relaciona la tangente con otros temas
La tangente va de la mano de la secante en derivadas e integrales, así que vale la pena estudiar junto con ella sus hermanas, las funciones trigonométricas recíprocas. Su inversa, la arcotangente, es la antiderivada de \frac{1}{1+x^2}, y la sustitución x = \tan\theta es una herramienta fundamental de la sustitución trigonométrica. Para tener las seis derivadas trigonométricas en un solo lugar, lee derivadas de las funciones trigonométricas.
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Seno, coseno y tangente
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