Função tangente tg(x): gráfico, assíntotas, derivada e integral
A função tangente tg(x) = sen(x)/cos(x): gráfico, assíntotas verticais, período π, derivada sec²(x), integral ln|sec x| + C e exemplos.
Funções trigonométricas Atualizado 3 min de leitura
Visão geral
- Domínio
- x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi
- Imagem
- (-\infty, \infty)
- Derivada
- \sec^2 x
- Integral
- \ln\lvert\sec x\rvert + C
- Período
- \pi
- Assíntotas
- x = \frac{\pi}{2} + k\pi, com k inteiro
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A função tangente é a razão \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Geometricamente, ela é a inclinação da reta que liga a origem ao ponto de ângulo x no círculo unitário. Diferente do seno e do cosseno, ela é ilimitada e tem uma assíntota vertical toda vez que o cosseno vale zero.
Definição de tg x
Num triângulo retângulo, isso é \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} (cateto oposto sobre cateto adjacente). Como a reta que passa pela origem com ângulo x tem inclinação \tan x, a tangente é o que converte um ângulo em uma inclinação, e o arco-tangente converte uma inclinação de volta em um ângulo.
Gráfico de y = tg x
Valores notáveis da tangente
| x | -\frac{\pi}{3} | -\frac{\pi}{4} | 0 | \frac{\pi}{6} | \frac{\pi}{4} | \frac{\pi}{3} | \frac{\pi}{2} |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \tan x | -\sqrt{3} | -1 | 0 | \frac{\sqrt{3}}{3} | 1 | \sqrt{3} | não definida |
Propriedades da função tangente
- Domínio. Todos os números reais exceto x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
- Imagem. Todos os números reais.
- Período. \tan(x + \pi) = \tan x, então o período é \pi, e não 2\pi.
- Zeros. \tan x = 0 em x = k\pi, os mesmos zeros do seno.
- Simetria ímpar. \tan(-x) = -\tan x.
- Sempre crescente. Em cada ramo a inclinação \sec^2 x é pelo menos 1, então o gráfico nunca se achata.
- Limites laterais. \lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty e \lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty. Veja limites no infinito para saber mais sobre assíntotas.
- Identidade. 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, obtida dividindo \sin^2 x + \cos^2 x = 1 por \cos^2 x.
Derivada de tg x
Aplique a regra do quociente a \frac{\sin x}{\cos x}:
Em x = 0 a inclinação é \sec^2 0 = 1, o que confere com o gráfico cruzando a origem num ângulo de 45 graus.
Integral de tg x
Escreva \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} e tome u = \cos x, de modo que du = -\sin x\,dx:
As duas formas são iguais porque -\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: regra da cadeia. \frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x).
Exemplo 2: uma potência da tangente. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x.
Exemplo 3: uma integral usando a identidade. Como \tan^2 x = \sec^2 x - 1,
Exemplo 4: uma integral definida. \int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1.
Erros comuns
- Achar que o período é 2\pi. A tangente se repete a cada \pi, porque \sin e \cos trocam de sinal depois de meia volta e os sinais se cancelam.
- Escrever \int\tan x\,dx = \sec^2 x. Isso está invertido: \sec^2 x é a derivada. A integral precisa de um logaritmo.
- Esquecer o valor absoluto. \ln|\cos x| precisa das barras porque \cos x é negativo em partes do domínio.
- Ignorar as assíntotas. Você não pode integrar \tan x atravessando x = \frac{\pi}{2} com o Teorema Fundamental; isso seria uma integral imprópria, e ela diverge.
Como a tangente se conecta a outros temas
A tangente forma par com a secante em derivadas e integrais, então vale a pena estudar junto suas irmãs, as funções trigonométricas recíprocas. Sua inversa, o arco-tangente, é a antiderivada de \frac{1}{1+x^2}, e a substituição x = \tan\theta é uma ferramenta essencial da substituição trigonométrica. Para ver as seis derivadas trigonométricas num só lugar, leia derivadas das funções trigonométricas.
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Seno, cosseno e tangente
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