Tangensfunktion tan(x): Graph, Asymptoten, Ableitung und Integral

Die Tangensfunktion ist der Quotient \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}. Geometrisch ist sie die Steigung der Geraden vom Ursprung zum Punkt mit dem Winkel x auf dem Einheitskreis. Anders als Sinus und Kosinus ist sie unbeschränkt und hat jedes Mal eine senkrechte Asymptote, wenn der Kosinus null wird.

Definition von tan x

Im rechtwinkligen Dreieck ist das \frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}, also Gegenkathete durch Ankathete. Weil die Gerade durch den Ursprung mit dem Winkel x die Steigung \tan x hat, verwandelt der Tangens einen Winkel in eine Steigung, und der Arkustangens verwandelt eine Steigung zurück in einen Winkel.

Graph von y = tan x

Wichtige Werte des Tangens

Eigenschaften der Tangensfunktion

• Definitionsbereich. Alle reellen Zahlen außer x = \frac{\pi}{2} + k\pi.
• Wertebereich. Alle reellen Zahlen.
• Periode. \tan(x + \pi) = \tan x, die Periode ist also \pi, nicht 2\pi.
• Nullstellen. \tan x = 0 bei x = k\pi, dieselben Nullstellen wie beim Sinus.
• Ungerade Symmetrie. \tan(-x) = -\tan x.
• Immer steigend. Auf jedem Ast ist die Steigung \sec^2 x mindestens 1, der Graph wird also nie flach.
• Einseitige Grenzwerte. \lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty und \lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty. Mehr zu Asymptoten findest du unter Grenzwerte im Unendlichen.
• Identität. 1 + \tan^2 x = \sec^2 x, man erhält sie, indem man \sin^2 x + \cos^2 x = 1 durch \cos^2 x teilt.

Ableitung von tan x

Wende die Quotientenregel auf \frac{\sin x}{\cos x} an:

Bei x = 0 ist die Steigung \sec^2 0 = 1. Das passt dazu, dass der Graph den Ursprung unter einem Winkel von 45 Grad schneidet.

Integral von tan x

Schreibe \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} und setze u = \cos x, also du = -\sin x\,dx:

Die beiden Formen sind gleich, weil -\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|} ist.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kettenregel. \frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x).

Beispiel 2: eine Potenz des Tangens. \frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x.

Beispiel 3: ein Integral mit der Identität. Da \tan^2 x = \sec^2 x - 1 ist, gilt

Beispiel 4: ein bestimmtes Integral. \int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1.

Häufige Fehler

1. Die Periode für 2\pi halten. Der Tangens wiederholt sich alle \pi, weil \sin und \cos nach einer halben Umdrehung beide das Vorzeichen wechseln und sich die Vorzeichen wegheben.
2. \int\tan x\,dx = \sec^2 x schreiben. Das ist verkehrt herum: \sec^2 x ist die Ableitung. Für das Integral braucht man einen Logarithmus.
3. Den Betrag weglassen. \ln|\cos x| braucht die Betragsstriche, weil \cos x auf Teilen des Definitionsbereichs negativ ist.
4. Die Asymptoten ignorieren. Du kannst \tan x nicht mit dem Hauptsatz über x = \frac{\pi}{2} hinweg integrieren. Das wäre ein uneigentliches Integral, und es divergiert.

Wie der Tangens mit anderen Themen zusammenhängt

Der Tangens tritt bei Ableitungen und Integralen zusammen mit dem Sekans auf, daher lohnt es sich, seine Verwandten auf der Seite zu Sekans, Kosekans und Kotangens gleich mitzulernen. Seine Umkehrfunktion, der Arkustangens, ist die Stammfunktion von \frac{1}{1+x^2}, und die Substitution x = \tan\theta ist ein Arbeitspferd der trigonometrischen Substitution. Alle sechs trigonometrischen Ableitungen an einem Ort findest du unter Ableitungen der trigonometrischen Funktionen.