Logaritmo natural ln(x): gráfica, propiedades, derivada e integral

El logaritmo natural \ln x responde a la pregunta "¿a qué potencia hay que elevar e para obtener x?". Es la inversa de la función exponencial natural, y su derivada es la sorprendentemente sencilla \frac{1}{x}, lo que lo convierte en el logaritmo preferido en cálculo.

Definición y fórmula

De forma equivalente, \ln x es el área bajo la función recíproca desde 1 hasta x:

Gráfica de ln x

Propiedades clave

• Dominio (0, \infty), rango todos los reales.
• Valores clave: \ln 1 = 0, \ln e = 1, \ln e^k = k.
• Creciente en todo su dominio (\frac{1}{x} > 0) y cóncava hacia abajo (-\frac{1}{x^2} < 0).
• Asíntota vertical x = 0: \lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty. Además \lim_{x \to \infty}\ln x = \infty, pero muy lentamente; \ln x crece más despacio que cualquier potencia positiva de x.
• Identidades de la inversa: e^{\ln x} = x para x > 0 y \ln e^x = x para todo x.

Propiedades de los logaritmos

Se cumplen para a, b > 0. No existe ninguna propiedad para \ln(a + b).

Derivada de ln x

Idea de la demostración: si y = \ln x, entonces e^y = x. Derivando implícitamente se obtiene e^y y' = 1, así que y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}. Con la regla de la cadena:

Integral de ln x

Usando integración por partes con u = \ln x, dv = dx, de modo que du = \frac{1}{x}\,dx y v = x:

La dirección inversa es la más habitual: \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: regla de la cadena. \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}.

Ejemplo 2: simplificar primero. \frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}.

Ejemplo 3: regla del producto. \frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x.

Ejemplo 4: integral definida. \int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1.

Ejemplo 5: integral logarítmica. Con u = x^2 + 4, \int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C. No hace falta el valor absoluto porque x^2 + 4 > 0.

Errores comunes

1. Separar el logaritmo de una suma. \ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1.
2. Escribir \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x}. La regla de la cadena da \frac{5}{5x} = \frac{1}{x}.
3. Escribir \int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C. Esa es la derivada, no la integral.
4. Confundir \ln x^2 con (\ln x)^2. La primera es 2\ln x; la segunda es un cuadrado.
5. Tomar \ln de 0 o de un número negativo. Revisa el dominio, sobre todo después de una sustitución.

Cómo se relaciona

Tomar \ln en ambos lados convierte productos y potencias difíciles en sumas, la idea detrás de la derivación logarítmica. Los logaritmos en otras bases son simplemente logaritmos naturales reescalados; consulta las funciones logarítmicas. Para practicar con más ejemplos resueltos, lee la guía de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.